Nombre eulérien

En mathématiques, et plus précisément en analyse combinatoire, le nombre eulérien A(n, m), est le nombre de permutations des entiers de 1 à n pour lesquelles exactement m éléments sont plus grands que l'élément précédent (permutations avec m « montées » ). Ce sont les coefficients des polynômes eulériens :

Pour les articles homonymes, voir Nombres d'Euler.

Ces polynômes apparaissent au numérateur d'expressions liées à la fonction génératrice de la suite .

Ces nombres forment la suite A008292 de l'OEIS.

D'autres notations pour A(n, m) sont E(n, m) et

Historique

Euler, Institutiones calculi differentialis, 2e partie, 1755

En 1755, dans son livre Institutiones calculi differentialis, Leonhard Euler a étudié les polynômes α1(x) = 1,α2(x) = x + 1, α3(x) = x2 + 4x + 1, etc. (voir le facsimilé ci-contre). Ces polynômes sont une forme décalée de nos polynômes eulériens An(x).

Par analogie avec la notation des coefficients binomiaux et avec celle des nombres de Stirling et la notation fut proposée par Donald Knuth en 1968 dans The Art of Computer Programming.

Propriétés élémentaires

Pour un n donné  > 0, l'indice m de A(n, m) peut aller de 0 à n  1. Pour n fixé, il y a une seule permutation sans montée, la permutation descendante (n, n  1, n  2, ..., 1). Il y a également une seule permutation avec n  1 montées, la permutation identique (ou montante) (1, 2, 3, ..., n). Ainsi, A(n, 0) = A(n, n  1) = 1 pour tout n.

Renverser une permutation ayant m montées crée une autre permutation ayant n  m  1 montées ; ainsi

A(n, m) = A(n, n  m  1).

Les valeurs de A(n, m) peuvent être calculées « à la main » pour de petites valeurs de n et m. Par exemple

n m Permutations A(n, m)
1 0 (1) A(1,0) = 1
2 0 (2, 1) A(2,0) = 1
1 (1, 2) A(2,1) = 1
3 0 (3, 2, 1) A(3,0) = 1
1 (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) A(3,1) = 4
2 (1, 2, 3) A(3,2) = 1

Pour des valeurs plus grandes de n, A(n, m) peut être calculé à l'aide de la relation de récurrence

Par exemple

Les valeurs de A(n, m) pour 0 ≤ n ≤ 9 (c'est la suite A008292 de l'OEIS) sont :

n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1
1 1
2 11
3 141
4 111111
5 12666261
6 157302302571
7 11201191241611911201
8 12474293156191561942932471
9 1502146088823415619088234146085021

Ce tableau triangulaire s'appelle le triangle d'Euler, et possède certaines des caractéristiques du triangle de Pascal. La somme de la n-ème ligne est le nombre de toutes les permutations, soit la factorielle n!.

Formule explicite

Une formule explicite pour A(n, m) est

Calculs de sommes

D'après leur définition combinatoire, la somme des nombres eulériens pour une valeur donnée de n est le nombre total de permutations des entiers de 1 à n, et donc

La somme alternée des nombres eulériens pour une valeur donnée de n est liée au nombre de Bernoulli Bn+1

Voici d'autres formules de sommation :

Bn est le n-ème nombre de Bernoulli.

Identités

  • Une autre identité remarquable est obtenue par la transformation :
Pour , les termes de gauche forment une série géométrique convergente, et les termes de droite sont positifs ; on peut donc interchanger les sommations. Utilisant l'identité précédente, on obtient :
En définitive, pour , on a
La somme du numérateur de droite est la somme des polynômes d'Euler.
  • Une identité remarquable[1] probabiliste permet de démontrer simplement un théorème central limite pour le nombre de montées d'une permutation tirée au hasard. Si est une suite de variables aléatoires i.i.d. uniformes sur [0,1] et si
alors

Nombres eulériens de seconde espèce

Le nombre des permutations du multiensemble telles que pour chaque k, tous les nombres entre les deux occurrences de k sont plus grands que k, est le produit des entiers impairs jusqu'à 2n-1 (appelé parfois la double factorielle de (2n-1), et noté (2n-1)!!) ; on a .

Le nombre eulérien de seconde espèce, noté compte le nombre de toutes ces permutations ayant exactement m montées. Par exemple, pour n=3, il y a 3!! = 15 permutations de ce type, une sans montées, 8 avec une montée, et 6 avec deux montées:

À partir de cette définition, on montre facilement que les nombres vérifient la récurrence :

avec les conditions initiales :

pour m > 0 et .

On leur fait correspondre les polynômes eulériens de seconde espèce, notés ici  :

;

des relations de récurrence précédentes, on déduit que les Pn(x) vérifient la relation :

, avec

On peut la réécrire :

;

ainsi la fonction rationnelle

satisfait :

d'où l'on tire les polynômes sous la forme Pn(x)=(1-x)2nun(x); puis les nombres eulériens de seconde espèce qui sont leurs coefficients.

Voici quelques valeurs de ces nombres (la suite A008517 de l'OEIS) :

n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1
1 1
2 12
3 186
4 1225824
5 152328444120
6 1114145244003708720
7 124056103212058140339845040
8 14941995019580064402078530434113640320
9 11004672601062500576550012440064110262963733920362880

La somme de la n-ème ligne est Pn(1) = (2n-1)!!.

Articles connexes

Notes et références

Notes

  1. voir (en) S. Tanny, « A probabilistic interpretation of the Eulerian numbers », Duke Math. J., vol. 40, , p. 717-722 ou bien (en) R.P. Stanley, « Eulerian partitions of a unit hypercube », Higher Combinatorics, Dordrecht, M. Aigner, ed., Reidel, .

Références

Liens externes

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