Ordre moyen d'une fonction arithmétique

• Un ordre moyen du plus grand diviseur impair de n est 2n/3
• Un ordre moyen de ${\displaystyle \tau (n)}$, nombre de diviseurs de n, est ${\displaystyle \ln(n)}$
• Un ordre moyen de ${\displaystyle \sigma (n)}$, somme des diviseurs de n, est ${\displaystyle n\pi ^{2}/6}$

"Courbe" de la somme des diviseurs ${\displaystyle \sigma (n)}$, avec l'ordre moyen ${\displaystyle n\pi ^{2}/6}$ en rouge, n+1 correspondant aux nombres premiers en vert, et 2n correspondant aux nombres parfaits en jaune.

• Un ordre moyen de ${\displaystyle \phi (n)}$, indicatrice d'Euler de n, est ${\displaystyle 6n/\pi ^{2}}$
• Un ordre moyen de ${\displaystyle r(n)}$, nombre de façon d'exprimer n comme somme de deux carrés, est ${\displaystyle \pi }$
• Un ordre moyen de ${\displaystyle \omega (n)}$, nombres de facteurs premiers distincts de n, est ${\displaystyle \ln(\ln(n))}$
• Un ordre moyen de ${\displaystyle \Omega (n)}$, nombre de facteurs premiers de n, est ${\displaystyle \ln(\ln(n))}$
• Le théorème des nombres premiers équivaut au fait que la fonction de von Mangoldt, ${\displaystyle \Lambda (n)}$, a pour ordre moyen 1, et au fait que la fonction de Möbius, ${\displaystyle \mu (n)}$, a pour ordre moyen 0.

Cette notion peut être présentée à l'aide d'un exemple. De

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\tau (n)=x\ln x+(2\gamma -1)x+o(x)}$

(${\displaystyle \gamma }$ est la constante d'Euler-Mascheroni) et

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\log n=x\ln x-x+O(\log x),}$

on tire la relation asymptotique

${\displaystyle \sum _{n\leq x}(\tau (n)-(\ln n+2\gamma ))=o(x)\quad (x\rightarrow \infty ),}$

qui suggère que la fonction ${\displaystyle \ln n+2\gamma }$ est un meilleur choix d'ordre moyen pour ${\displaystyle \tau (n)}$ que simplement ${\displaystyle \ln n}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Average order of an arithmetic function » (voir la liste des auteurs).
• (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1^re éd. 1938) [détail des éditions], 2008, p. 347–360
• (en) Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, CUP, coll. « Cambridge studies in advanced mathematics » (n^o 46), 1995 (ISBN 0-521-41261-7), p. 36–55

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