p-groupe

En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de p[1]. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes.

Propriétés

  • Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe.
  • Réciproquement, si H est un p-sous-groupe distingué d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.
  • On peut tirer du point précédent qu'un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe.
  • La somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de p-groupes est un p-groupe.
  • Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.
  • Dans un p-groupe, si l'indice d'un sous-groupe est fini, alors cet indice est une puissance de p.
  • Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial (par trivial, on entend réduit à l'élément neutre).
  • Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.
  • Soit G un p-groupe fini d'ordre pn. Pour tout nombre naturel r inférieur ou égal à n, G admet au moins un sous-groupe d'ordre pr.
  • Tout p-groupe fini non abélien possède au moins un[3] automorphisme non intérieur d'ordre une puissance de p.
  • Tout automorphisme d'un p-groupe G d'ordre pn induit un automorphisme du quotient de G par son sous-groupe de Frattini Φ(G) = Gp[G, G]. Ce quotient est un groupe abélien élémentaire (en) (ℤ/p)d, dont le groupe d'automorphismes est GL(d, Fp), d'ordre (pd – 1)(pd – p)(pd – p2) … (pd – pd–1). Le noyau du morphisme canonique de Aut(G) dans Aut(G/Φ(G)) a pour ordre[4] un diviseur de pd(n–d).

Remarque[5] : tout groupe d'ordre p2 est abélien. En effet, si Z est le centre (non trivial) d'un tel groupe G alors G/Z est cyclique (car d'ordre 1 ou p) donc G est engendré par la réunion de Z et d'un singleton, si bien que G est abélien. (Il est donc soit cyclique, soit produit de deux groupes cycliques d'ordre p.)

Notes et références

Notes

  1. Cette définition est conforme à Scott 1987, p. 91 ; Calais 1984, p. 295 ; Rotman 1999, p. 73 ; Hall 1976, p. 45 ; M. Reversat et B. Bigonnet, Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés, Dunod, 2000, p. 51. En revanche, N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, ch. I, § 6, n° 5, déf. 9, p. I.72, appelle p-groupe, pour un nombre premier p donné, un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p. Cette définition de Bourbaki figure aussi dans (en) S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1978, p. 2 et Perrin 1996, p. 9.
  2. Rotman 1999, p. 76.
  3. (de) Wolfgang Gaschütz (de), « Nichtabelsche p-Gruppen besitzen äussere p-Automorphismen », J. Algebra, vol. 4, , p. 1-2 (lire en ligne).
  4. (en) Philip Hall, « A contribution to the theory of groups of prime-power order », Proc. Lond. Math. Soc., série II, vol. 36, , p. 29-95 (zbMATH 59.0147.02).
  5. Cette propriété est un exercice standard dans les manuels d'algèbre, par exemple Perrin 1996, p. 34.

Références

  • J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, PUF, , 3e éd. (ISBN 978-2-13038465-6)
  • (en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions]
  • Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
  • Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]
  • (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions]
  • (en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, (1re éd. 1964) (lire en ligne)

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

(en) Yakov Berkovich et Zvonimir Janko, Groups of Prime Power Order, vol. 1 (ISBN 978-3110204186) et 2 (ISBN 978-3110204193), De Gruyter, 2008

Lien externe

Cours de théorie des groupes par N. Jacon de l'université de Franche-Comté

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