Problèmes non résolus en mathématiques
En toute généralité la résolution d'un problème en mathématique est relative au cadre axiomatique dans lequel on se place. Pour exemples on peut prouver plus en logique classique qu'en logique intuitionniste et aussi plus dans la théorie des ensembles usuelle que dans la théorie arithmétique.
Pour les articles homonymes, voir Liste des problèmes non résolus.
Par exemple le théorème de Goodstein s'exprime dans le langage de l'arithmétique et est démontré être indécidable dans la théorie arithmétique, alors qu'il est un théorème de la théorie des ensembles.
Le célèbre dernier théorème de Fermat, qui lui aussi s'exprime dans le langage de l'arithmétique, est résolu en théorie des ensembles, mais on ne sait pas s'il est résoluble ou non dans la théorie arithmétique.
Ce qui suit est donc une liste de problèmes non résolus en mathématiques standard, soit en logique classique avec la théorie des ensembles usuelle.
Problèmes du prix du millénaire
Sur les sept problèmes du prix du millénaire fixés par l'Institut de mathématiques Clay, les six qui restent ouverts sont :
- problème P = NP
- conjecture de Hodge
- hypothèse de Riemann
- existence de la théorie de Yang-Mills avec un gap de masse
- existence et propriétés de solutions des équations de Navier-Stokes
- conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.
Seule la conjecture de Poincaré a été démontrée.
Autres problèmes encore non résolus
Théorie des nombres
- Généralités
- conjecture de Goldbach et sa version faible
- les valeurs de et dans le problème de Waring
- conjecture de Syracuse (conjecture de 3n + 1)
- conjecture de Gilbreath
- conjecture abc
- existe-t-il un nombre parfait qui est impair ?
- existe-t-il un nombre quasi parfait ?
- existe-t-il un nombre étrange impair ?
- existe-t-il un nombre de Lychrel ?
- 10 est-il un nombre solitaire ?
- existe-t-il taxicab(5,2,n) pour n>1 ?
- problème de Brocard : existe-t-il des entiers n et m (n > 7) tels que n! + 1 = m2 ?
- Nombres premiers
- existence de nombre double de Mersenne pour n plus grand que 31
- conjecture des nombres premiers jumeaux
- existe-t-il une infinité de quadruplets de nombres premiers ?
- existe-t-il une infinité de nombres premiers de Mersenne ?
- existe-t-il une infinité de nombres premiers réguliers ?
- existe-t-il une infinité de nombres de Cullen premiers ?
- existe-t-il une infinité de nombres premiers palindromes en base 10 ?
- existe-t-il une infinité de nombres de Fibonacci qui sont premiers ?
- chaque nombre de Fermat est-il composé pour n > 4 ?
- 78 557 est-il le plus petit nombre de Sierpinski ?
- 509 203 est-il le plus petit nombre de Riesel ?
- conjecture de Polignac
- problèmes de Landau
- conjecture de Fortune : primalité systématique des nombres fortunés
Algèbre
- seizième problème de Hilbert
- conjecture de Hadamard
- existe-t-il un cuboïde parfait ?
- Pour quels entiers m, n > 0 le groupe de Burnside B(m, n) est-il fini ?
Analyse
- conjecture de Schanuel
- conjecture de Lehmer (en)
- problème de Pompeiu
- la constante d'Euler-Mascheroni, , est-elle rationnelle ?
Combinatoire
- nombre de carrés magiques
- établir une formule donnant la probabilité que deux éléments choisis au hasard engendrent le groupe symétrique
- Conjecture du coureur solitaire
- Théorie de Ramsey
- les valeurs de nombres de Ramsey, en particulier R(5,5)
- les valeurs de nombres de van der Waerden
- conjecture des familles stables par unions : pour toute famille d'ensembles stable par unions il existe un élément appartenant au moins à une moitié des ensembles de la famille.
Théorie des graphes
- conjecture d'Erdős-Gyárfás (en)
- conjecture de Hadwiger
- conjecture d'Erdős-Faber-Lovász
- conjecture de coloration totale (en)
- conjecture de Ringel-Kotzig (alias conjecture de von Koch)
- problème de Hadwiger-Nelson
- trouver une formule générale pour le seuil de percolation
- conjecture de reconstruction (en) : les graphes sont déterminés par leurs sous-graphes (due à Kelly et Ulam)
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Unsolved problems in mathematics » (voir la liste des auteurs).
Voir aussi
Articles connexes
- Problèmes de Hilbert
- Problèmes de Smale
- Problèmes de Landau
- Liste de conjectures mathématiques
- La catégorie Problème non résolu en mathématiques
Bibliographie
- (en) Vincent Blondel et Alexandre Megrestski, Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control Theory, PUP, (1re éd. 2004) (ISBN 978-1-40082615-5, lire en ligne)
- (en) Fan Chung et Ronald Graham, Erdős on Graphs: His Legacy of Unsolved Problems, A K Peters, (ISBN 978-1-56881079-9)
- (en) Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer (en) et Richard K. Guy, Unsolved Problems in Geometry, Springer, coll. « Unsolved Problems in Intuitive Mathematics » (no 2), (1re éd. 1991) (ISBN 978-1-46126962-5)
- (en) Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer, coll. « Unsolved Problems in Intuitive Mathematics » (no 1), (1re éd. 1981) (ISBN 978-0-387-20860-2)
- (en) Victor Klee et Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, MAA, (ISBN 978-0-88385315-3, lire en ligne)
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