Produit de Wallis

En mathématiques, le produit de Wallis est une expression de la moitié de la constante π sous la forme d'un produit infini, énoncée en 1655 par John Wallis, dans son ouvrage Arithmetica infinitorum.

Expression

Ce produit peut s'écrire sous la forme :

soit, de façon plus condensée :

ou encore :

Démonstration

On peut démontrer cette égalité à l'aide des intégrales de Wallis.

C'est aussi une conséquence directe de la formule d'Euler-Wallis pour la fonction sinus (qui est un exemple de factorisation de Weierstrass[1]) :

appliquée à x = π/2 :

[2].

Vitesse de convergence

La vitesse de convergence, lorsque N tend vers l'infini, de la suite des produits finis

est assez lente, l'écart[3] avec π/2 étant un O(1/N). Cette suite n'est donc pas utilisée numériquement pour calculer des valeurs approchées de π. La précision peut cependant être améliorée en multipliant PN par un développement limité dont les premiers termes sont[4] :

Ainsi, pour N = 10, on obtient :

alors que

Notes et références

  1. (en) Weierstrass factorization theorem, de PlanetMath.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Wallis Formula », sur MathWorld.
  3. Pour une majoration de cet écart, voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  4. (en) Cristinel Mortici, « Product Approximations via Asymptotic Integration », Amer. Math. Monthly, vol. 117, no 5, , p. 434-442.
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