Projecteur (physique statistique)

En physique statistique, le projecteur est un opérateur qui, à partir d'une séparation a priori des variables d'une fonction stochastique en plusieurs sous-espaces permet d'établir une nouvelle relation physique ne faisant intervenir que les variables choisies. Cette partition se base par exemple sur les temps caractéristiques associés à chacun des lots de variables en physique statistique classique.

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Projecteur en physique statistique classique

Soit un ensemble de N particules décrit par les 3N coordonnées généralisées et dont l'évolution est régie par un processus stochastique markovien caractérisé par la fonction de distribution . Cette fonction obéit à l'équation maîtresse

est un opérateur linéaire pouvant être par exemple l'opérateur de Liouville.

On souhaite effectuer une partition de l'ensemble de ces variables en ensembles de variables « lentes » et « rapides » , cette notion étant subordonnée à une connaissance a priori du système. Les variables lentes peuvent par exemple être définies comme celles qui correspondent aux grandes longueurs d'onde du développement en séries de Fourier d'une réalisation temporelle du processus étudié.

L'opérateur utilisé, noté est donné formellement par . En pratique on l'écrira

  • est une distribution donnée a priori et pertinente pour le problème considéré, de moyenne nulle, par exemple un bruit blanc,
  • est une fonction donnée qui satisfait à l'égalité suivante (produit scalaire)

Si l'on peut séparer les deux catégories de variables en termes de temps caractéristiques on montre que est un projecteur au sens mathématique et que l'on peut projeter l'équation maîtresse dans de domaine lent. On obtient aux temps longs (lorsque la condition initiale est oubliée)

Exemple du mouvement brownien

Le mouvement brownien se définit comme le mouvement stochastique d'une particule de faible dimension et de masse m dans un fluide. Il résulte du mouvement des molécules interagissant entre elles et avec la particule. Il peut être représenté par l'équation de Langevin qui est une équation stochastique portant sur les variables aléatoires vitesse u et position x, évidemment liée à la vitesse par . On se placera en une dimension d'espace.

γ caractérise le freinage moyen dû aux chocs avec les molécules environnantes et est la force aléatoire de moyenne nulle résultant des chocs les plus importants[1], supposée représentée par un bruit blanc gaussien du fait qu'elle résulte d'un grand nombre de chocs (conséquence du théorème central limite). Si de plus on suppose la particule en équilibre thermodynamique avec son bain

On peut également représenter le mouvement brownien par la fonction de distribution f (x, u, t) donnant la probabilité de trouver la particule dans l'intervalle [ x , x + dx ], [ u , u + du ] à l'instant t. En utilisant le lemme d'Itō on peut écrire l'équation de f sous la forme d'une équation de Fokker-Planck appelée équation de Kramers[2]

La solution stationnaire de cette équation est une distribution maxwellienne

On définit le projecteur tel que

La fonction est supposée varier lentement dans le milieu : on va chercher à la séparer de .

Le projecteur satisfait

En appliquant la technique générale décrite dans l'encadré ci-dessus on obtient

Le second terme de cette expression, provenant de la condition initiale f0, s'annule en temps long et il reste une simple équation de diffusion pour la variation spatio-temporelle dans le milieu.

Notes et références

Notes

    Références

    1. (en) Hazime Mori, « Transport, Collective Motion, and Brownian Motion », Progress of Theoretical Physics, vol. 33, no 3, , p. 423-454 (lire en ligne)
    2. (en) H. A. Kramers, « Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions », Physica, vol. 7, no 4, , p. 284-304

    Ouvrages de référence

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