Projection gnomonique

En géométrie et en cartographie, une projection gnomonique est une projection cartographique azimutale transformant les grands cercles en lignes droites ; le trajet le plus court entre deux points de la sphère correspond donc à celui sur la carte.

La projection gnomonique transforme les grands cercles en droites.

Historique et applications

La projection gnomonique serait la plus ancienne projection cartographique ; elle aurait été développée par Thalès[réf. nécessaire] au VIe siècle av. J.-C. L'ombre de la pointe d'un gnomon trace les mêmes hyperboles que celles formées par les parallèles d'une carte gnomonique, d'où son nom.

Les projections gnomoniques sont naturellement utilisées en gnomonique et aussi en sismologie, parce que les ondes sismiques tendent à se propager le long de grands cercles. Elles sont aussi utilisées en navigation pour la radiogoniométrie, les signaux radios se propageant également le long de grands cercles. Il en est de même des météorites, c'est pourquoi l'Atlas gnomonique Brno 2000.0 est l'ensemble de cartes stellaires que recommande l'IMO (en) pour les observations visuelles de météorites.

En 1946, Buckminster Fuller breveta une méthode de projection similaire (il s'agit en fait du recollement de plusieurs projections gnomoniques) dans sa version cuboctaédrale de la Dymaxion Map. Il en publia une version icosaédrale en 1954, intitulée AirOcean World Map, qui est celle à laquelle il est le plus souvent fait référence actuellement.

Définition géométrique

La projection gnomonique de la sphère de centre C sur un de ses plans tangents (au point T) est la transformation qui associe à chaque point A de la sphère l'intersection P de la droite (CA) avec ce plan. La projection n'est pas définie pour les points du grand cercle parallèle au plan tangent[1] ; en cartographie, on ne représente ainsi que le demi-hémisphère pour lequel A est situé entre C et P ; on dit que la projection est centrée en T, et c'est en ce point que la déformation de la projection est la plus faible.

Comme chaque grand cercle de la sphère est l'intersection de celle-ci avec un plan passant par le centre, sa projection est l'intersection de ce plan avec le plan tangent, et donc une ligne droite ; c'est en particulier le cas des méridiens et de l'équateur :

  • si le point de tangence est l'un des pôles (comme sur la projection ci-contre), les méridiens passent par le centre et sont régulièrement espacés ; l'équateur est rejeté à l'infini. Les parallèles deviennent des cercles concentriques (voir la figure 1 ci-dessous) ;
  • si le point de tangence est sur l'équateur, les méridiens sont des droites parallèles, mais non régulièrement espacées, et seul l'équateur devient une droite perpendiculaire aux méridiens. Les autres parallèles sont représentés comme des arcs d'hyperboles (voir la figure 2 ci-dessous) ;
  • dans les autres cas, les méridiens sont des (demi-)droites partant toutes du pôle, mais non régulièrement espacées ; la droite représentant l'équateur n'est orthogonale qu'à l'un de ces méridiens (ce qui montre que la projection gnomonique n'est pas une transformation conforme) ; enfin, les autres parallèles peuvent, suivant leur position, être représentés par une droite ou des paraboles (aux latitudes les plus proches de l'équateur), un arc d'hyperbole (à la latitude limite spécifique du point de tangence), ou bien des ellipses (aux latitudes supérieures) dont les centres sont alignés sur la demi-droite verticale représentant le méridien opposé (voir la figure 3 ci-dessous).

Comme pour toutes les projections azimutales, les angles au point de tangence sont conservés. La distance sur la carte à partir de ce point est une fonction r(d) de la distance réelle d, donnée par

,

où R est le rayon terrestre. L'échelle radiale est :

et l'échelle transversale est :

les deux échelles augmentent en s'éloignant du centre, mais l'échelle radiale augmente plus vite.

Dans tous les cas, la projection ne peut pas représenter sur la même carte plus d'une seule hémisphère géographique dont les limites sont projetées hors de la carte à l'infini.

Notes

  1. Il est possible de généraliser cette transformation en ajoutant au plan tangent une droite à l'infini (image de ce grand cercle), le transformant en un plan projectif.

Références


  • (en) Snyder, John P., Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, United States Government Printing Office, Washington, D.C, Cet article peut être téléchargé à partir des pages de l'USGS

Voir aussi

Les trois autres projections azimutales principales :

Liens externes

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