Radian

Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée du Système international qui mesure les angles plans. Bien que le mot « radian » ait été inventé au cours des années 1870 par Thomas Muir et James Thomson[1],[2], les mathématiciens mesuraient depuis longtemps les angles en prenant pour unité le rapport entre la circonférence et la longueur du rayon.

« Rad » redirige ici. Pour les autres significations, voir RAD.

Radian

Définition de l'angle en radians.
Informations
Système Unités dérivées du Système international
Unité de… Angle plan
Symbole rad
Conversions
1 rad en... est égal à...
  tour complet   2π rad

Définition

Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon r tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.

Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de 2π radians, appelé angle plein.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens. De ce fait, le calcul des fonctions trigonométriques par une série de Taylor suppose l'expression des angles en radians, tout comme l'application de la formule d'Euler, qui l'a posée en spécifiant que les angles devaient être mesurés par la longueur en rayons de l'arc qu'ils interceptent, plus d'un siècle avant l'invention du terme radian.

Petits angles

Pour les petits angles exprimés en radians, sin x ≈ tan xx.

  • Pour un angle de valeur inférieure à 0,17 radian l'erreur est de moins de 1 % ;
  • Pour un angle de valeur inférieure à 0,05 radian l'erreur est de moins de 0,1 %[3].

Dans le domaine de la topographie, où on traite d'angles faibles, on utilise le mil angulaire, une unité pratique, définie comme l'angle qu'intercepte une longueur de mm à une distance de m. Elle sert, par exemple, à déterminer la distance d'une mire de hauteur connue par la mesure de sa taille apparente. Dans les conditions où elle sert, cette unité s'identifie avec un milliradian.

Relations entre grades, degrés et radians

Diagramme pour la conversion entre degrés et radians.

Un tour complet équivaut à 2π radians, 360 degrés, 400 grades.

Par conséquent,

  • Un radian vaut environ 57,3° ou 57° 18' (360°÷2π) ;
  • un degré vaut approximativement 17,5 milliradians.

Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

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Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

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Quelques angles particuliers en radians, grades, degrés et tours :
nom de l'angle valeur en radians valeur en grades valeur en degrés valeur en tours
angle nul0 rad0 gon0 tr
milliradian0,0010,063 661 977 gon0° 3′ 26″ 16‴ soit 0,0573°0,00015915494 tr
π/6 rad33,333 333 gon30°0,08333 tr (1/12 tr)
π/4 rad50 gon45°0,125 tr (1/8 tr)
radian1 rad63,661 977 gon57° 17′ 44″ 48‴0,1591549430919 tr (1/π/2 tr)
π/3 rad66,666 666 gon60°0,1666 tr (1/6 tr)
angle droitπ/2 rad100 gon90°0,25 tr
2π/3 rad133,333 333 gon120°0,333 tr
3π/4 rad150 gon135°0,375 tr
angle platπ rad200 gon180°0,5 tr
5π/4 rad250 gon225°0,625 tr
3π/2 rad300 gon270°0,75 tr
7π/4 rad350 gon315°0,875 tr
angle plein2π rad400 gon360°1 tr

Voir aussi

Bibliographie

  • Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck, , « Radian », p. 569

Articles connexes

Notes et références

  1. (en) A.R. Crathorne, « The Word "Radian" », The American Mathematical Monthly, vol. 19, nos 10-11, , p. 166 (DOI 10.2307/2971878, JSTOR 2971878).
  2. (en) Robert J. Whitaker, « Whence the ‘‘Radian’’? », The Physics Teacher (en), vol. 32, no 7, , p. 444–445 (DOI 10.1119/1.2344073).
  3. Taillet, Villain et Febvre 2013, p. 39.
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