Relation de dispersion

En physique théorique, une relation de dispersion est une relation entre la pulsation $\omega$ et le vecteur d'onde ${\vec {k}}$ d'une onde monochromatique.

Par extension, la dualité onde-corpuscule de la physique quantique conduit à l'introduction de relation de dispersion pour une particule, comme relation entre son énergie $E$ et sa quantité de mouvement ${\vec {p}}$ .

Exemples

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu non dispersif

Un milieu non dispersif est caractérisé par un indice n indépendant de la pulsation. En notant : $k=||{\vec {k}}||$ , la relation de dispersion s'écrit :

\omega \ =\ {\frac {c}{n}}\ k

La vitesse de phase est alors constante :

v_{\varphi }\ =\ {\frac {\omega }{k}}\ =\ {\frac {c}{n}}

et est égale à la vitesse de groupe :

v_{g}\ =\ {\frac {{\textrm {d}}\omega }{{\textrm {d}}k}}\ =\ {\frac {c}{n}}

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu dispersif

Dans un milieu dispersif, l'indice optique n dépend de la pulsation $\omega$ . En notant : $k=||{\vec {k}}||$ , la relation de dispersion s'écrit :

\omega \ =\ {\frac {c}{n(\omega )}}\ k

La vitesse de phase dépend alors explicitement de la pulsation :

v_{\varphi }\ =\ {\frac {\omega }{k}}\ =\ {\frac {c}{n(\omega )}}

La vitesse de groupe n'est en général plus égale à la vitesse de phase, mais lui est reliée par la relation de Rayleigh :

v_{g}\ =\ {\frac {{\textrm {d}}\omega }{{\textrm {d}}k}}=\ {\frac {{\textrm {d}}(k\,v_{\varphi })}{{\textrm {d}}k}}\ =\ v_{\varphi }\ +\ k\ {\frac {{\textrm {d}}v_{\varphi }}{{\textrm {d}}k}}

Particule non relativiste de masse m

En notant : $p=||{\vec {p}}||$ , la relation de dispersion s'écrit :

E\ =\ {\frac {p^{2}}{2m}}

Particule relativiste de masse m

E\ =\ {\sqrt {p^{2}\,c^{2}\ +\ m^{2}\,c^{4}\ }}

Particule relativiste de masse nulle

E\ =\ p\,c

Articles connexes

Références

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