Série de Lambert

En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme

.
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Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur :

où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de (an) avec la fonction constante 1(n) = 1 :

.

Exemples

La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple :

  • la série de Lambert de la fonction de Möbius μ est la série génératrice ordinaire de μ1 = δ1 :
    ;
  • celle de 1 est la série ordinaire de la fonction 11 = σ0 = d (nombre de diviseurs) :
    ;
  • plus généralement, celle de la fonction puissance Ida(n) = na (où a est un nombre complexe) est la série ordinaire de la fonction Ida1 = σa (somme des puissances a-ièmes des diviseurs) :
    ;
  • de même, celle de la fonction totient de Jordan est la série ordinaire de la fonction puissance : . En particulier,
    la série de Lambert de l'indicatrice d'Euler φ = J1 est :

Les séries de Lambert dans lesquelles les an sont des fonctions trigonométriques, par exemple, an = sin(2nx), peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions thêta de Jacobi.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

(la) Leonhard Euler, « Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae », Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, vol. 3, , p. 86-108 (lire en ligne)

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lambert series » (voir la liste des auteurs).
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