Série de Riemann

Pour α un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : .

Ne doit pas être confondu avec Somme de Riemann.

La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1 :

Convergence

La série de Riemann de paramètre complexe α converge absolument si Re(α) > 1, et diverge si Re(α) ≤ 1.

En effet :

Valeurs particulières

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :

, où est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).

Par exemple

En revanche, on ne sait rien concernant les valeurs prises pour α entier impair, hormis que pour α = 3, la somme, appelée constante d'Apéry, est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).

Fonction zêta de Riemann

La fonction zêta de Riemann ζ est définie sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 par la série convergente :

Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Généralisations

  • Les séries de Bertrand, de la forme
  • Les séries de Dirichlet, de la forme
  • Les séries de Riemann multiples, de la forme Il y a convergence absolue si et seulement si Re(α) > k.

Voir aussi

  • Portail de l’analyse
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.