Sommation par parties

Soient deux suites ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ et ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Pour tous entiers naturels ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle N}$, on définit

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}~{\text{ et }}~B_{m}=\sum _{k=0}^{m}b_{k}.}$

Alors[1] :

${\displaystyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})}$.

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de ${\displaystyle S_{N}}$.

La formule d'intégration par parties s'écrit :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,{\rm {d}}x=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,{\rm {d}}x.}$

Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale (${\displaystyle g'}$ devient ${\displaystyle g}$) et à dériver l'autre (${\displaystyle f}$ devient ${\displaystyle f'}$).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans un contexte discret, puisque l'une des deux séries est sommée (${\displaystyle b_{n}}$ devient ${\displaystyle B_{n}}$) et l'autre est différenciée (${\displaystyle a_{n}}$ devient ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

La preuve montre de plus l'inégalité :

${\displaystyle \left|\sum _{n={n_{0}}}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq M\sum _{n\geq n_{0}}|a_{n+1}-a_{n}|}$,

pour tout majorant M des |B_n|.

Un cas particulier est le test de Dirichlet, parfois appelé lui aussi « théorème d'Abel »[3] :

Si la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ est monotone et de limite nulle et si la suite ${\displaystyle (B_{n})}$ est bornée, alors la série ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ est convergente.

Le critère de convergence des séries alternées en est lui-même un sous-cas : si ${\displaystyle (a_{n})}$ est décroissante et de limite nulle, alors la série ${\displaystyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$ est convergente.

1. La suite ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)}$ est monotone et de limite nulle et la série ${\displaystyle \sum \sin n}$ a ses sommes partielles bornées car ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sin k={\frac {\sin {\frac {n}{2}}\sin {\frac {n+1}{2}}}{\sin {\frac {1}{2}}}}}$[4] donc (d'après le test de Dirichlet) la série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n}{n}}}$ converge.
2. De même[5], pour tout nombre complexe ${\displaystyle z\neq -1}$ de module ${\displaystyle 1}$, la série du logarithme complexe ${\displaystyle \ln \left(1+z\right)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{n}}{n}}}$ converge.
3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel sur les séries entières.