Sommation par parties

La sommation par parties est aux séries ce que l'intégration par parties est aux fonctions. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel.

Ne doit pas être confondu avec la méthode de sommation d'Abel

Énoncé

Soient deux suites et . Pour tous entiers naturels et , on définit

Alors[1] :

.

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de .

Similitude avec l'intégration par parties

La formule d'intégration par parties s'écrit :

Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale ( devient ) et à dériver l'autre ( devient ).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans un contexte discret, puisque l'une des deux séries est sommée ( devient ) et l'autre est différenciée ( devient ).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

Applications

Critère d'Abel[1], dit aussi règle d'Abel ou théorème d'Abel[2]  Si la suite tend vers 0 et la suite est bornée, et si la série est absolument convergente, alors la série est convergente.

La preuve montre de plus l'inégalité :

,

pour tout majorant M des |Bn|.

Un cas particulier est le test de Dirichlet, parfois appelé lui aussi « théorème d'Abel »[3] :

Si la suite est monotone et de limite nulle et si la suite est bornée, alors la série est convergente.

Le critère de convergence des séries alternées en est lui-même un sous-cas : si est décroissante et de limite nulle, alors la série est convergente.

Exemples

  1. La suite est monotone et de limite nulle et la série a ses sommes partielles bornées car [4] donc (d'après le test de Dirichlet) la série converge.
  2. De même[5], pour tout nombre complexe de module , la série du logarithme complexe converge.
  3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel sur les séries entières.

Notes et références

  1. Pour une démonstration, voir par exemple la section « Critère d'Abel » dans le cours de Wikiversité sur les séries.
  2. À ne pas confondre avec d'autres théorèmes du même nom .
  3. « Théorème d'Abel », Université en ligne.
  4. Pour un calcul de pour tout réel , voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  5. Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi

Article connexe

Formule sommatoire d'Abel

Lien externe

Article de Niels Henrik Abel de 1826 (où figure la sommation par parties), en ligne et commenté sur Bibnum

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