Système duodécimal

Le système duodécimal ou dozénal ou base douze est un système de numération qui utilise douze comme base. Autrement dit, dans ce système, on compte en douzaines et non en dizaines. Le nombre douze est donc écrit 10, représentant une douzaine et aucune unité, alors qu'en base dix, douze serait écrit 12 (pour une dizaine et deux unités). Écrire 12 dans un système duodécimal revient donc à écrire une douzaine et deux unités, soit 14 en base dix.

Comptage duodécimal avec les phalanges.

Ce système a quelques avantages par rapport au système décimal dominant fonctionnant en base dix, dans la mesure où il permet de diviser par 2, 3, 4, et 6 (au lieu de 2 et 5 pour le système en base dix).

Le nombre douze est le plus petit nombre avec quatre facteurs non triviaux (2, 3, 4, 6), ce qui fait que le système en base douze soit plus agréable et facile à utiliser pour des calculs comme les multiplications ou les divisions.

Description

En base douze, on utilise les dix chiffres de 0 à 9, suivis de deux symboles variables pour remplacer dix et onze. On utilise généralement X (dix en chiffre romains) et E (pour eleven, onze en anglais), les chiffres ↊ (deux culbuté) et ↋ (trois culbuté) qui sont proposés par la Dozenal Society, les lettres α (alpha minuscule) et β (bêta minuscule), les lettres T (de l'anglais ten) et E (de l'anglais eleven), les lettres X (comme le chiffre romain) et Y (suit la lettre X).

Alors que le décompte de certaines quantités comme les œufs ou les huîtres par douzaines est fréquent, l'utilisation d'un système en base douze n'est pas courante. On en trouve pourtant un exemple pratique utilisé dans la langue du Népal. Dans le passé, les Romains, malgré le décompte en base dix, utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions.

Historique

Historiquement, le nombre douze a été utilisé par de nombreux peuples. En latin par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (duodecim[1]) unités[2], ce qui montre la familiarité du décompte par douze :

  • duodecajugum : attelage de douze coursiers ;
  • duodecas : douzaine ;
  • duodecennium : période de douze ans ;
  • duodecemvir : collège de douze magistrats ;
  • etc.

Des exemples de cet usage sont les douze mois de l'année, les douze heures d'une montre (découpage de la nuit et du jour en douze heures basé sur le décan en Égypte antique[3]), les douze divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les douze signes du zodiaque de l'astrologie, les douze signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Il s'utilise encore dans le commerce (douzaine, grosse[4] pour douze douzaines).

Certaines populations (Moyen-Orient, Roumanie, Égypte, etc.) connaissent ce système de longue date en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour pointer les phalanges des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze, base de cette numération[5].

L'avantage d'une divisibilité en quotients entiers explique que les systèmes de mesure aient longtemps comporté des sous-multiples en douzièmes (douze pouces dans un pied, douze pence dans un shilling, douze deniers dans un sou, douze pièces dans une douzaine, douze douzaines dans une grosse, douze grosses dans une grande grosse, etc.). À quelques rares exceptions près, dont celle notable des États-Unis d'Amérique, ces systèmes ont été abandonnés partout, au profit du système décimal. Le Royaume-Uni a, par exemple, adopté la décimalisation de sa monnaie, la livre sterling, en 1971.

Notation

Le système do-gro-mo

Duodécimale Nom Décimal
0;001 emo
0;01 egro
0;1 edo
1 un
10 do
100 gro
1000 mo
Exemples de notations[6]
  • 1212 = 1410 (en effet, 1×12 + 2)
  • 2612 = 3010 (en effet, 2×12 + 6)
  • 3012 = 3610 = 1006 (en effet, 2×12 + 6)
  • 5012 = 6010 (en effet, 5×12)
  • 6912 = 8110 (en effet, 6×12 + 9)
  • 7612 = 9010 (en effet, 7×12 + 6)
  • 8512 = 10110 (en effet, 8×12 + 5)
  • 10012 = 14410 (en effet, 1×122)
  • 16012 = 21610 = 10006 (en effet, 1×122 + 6×121)
  • 1A612 = 27010 (en effet, 1×122 + 10×121 + 6)
  • 26512 = 36510 (en effet, 2×122 + 6×121 + 5)
  • 29412 = 40010 = 10020 (en effet, 2×122 + 9×121 + 4)
  • 40012 = 57610 (en effet, 4×122)
  • 57612 = 81010 (en effet, 5×122 + 7×121 + 6)
  • 6B412 = 100010 (en effet, 6×122 + 11×121 + 4)
  • 90012 = 129610 = 100006 (en effet, 9×122)
  • 100012 = 172810 (en effet, 1×123)
  • 11A812 = 200010 (en effet, 1×123 + 1×122 + 10×121 + 8)
  • 245412 = 409610 = 100016 (en effet, 2×123 + 4×122 + 5×121 + 4)
  • 396912 = 656110 = 100009 (en effet, 3×123 + 9×122 + 6×121 + 9)
  • 460012 = 777610 = 1000006 (en effet, 4×123 + 6×122)
  • 476812 = 800010 = 100020 (en effet, 4×123 + 7×122 + 6×121 + 8)
  • 500012 = 864010 (en effet, 5×123)
  • 789A12 = 1336610 (en effet, 7×123 + 8×122 + 9×121 + 10)
  • 1000012 = 2073610 (en effet, 1×124)
  • 2300012 = 4665610 = 10000006 (en effet, 2×124 + 3×123)
Exemples d'opérations arithmétiques
Sénaire Décimal Duodécimal Vicésimal
140 + 50 = 23060 + 30 = 9050 + 26 = 7630 + 1A = 4A
3430 - 213 = 3213810 - 81 = 729576 - 69 = 50920A - 41 = 1G9
13132 - 140 = 125522000 - 60 = 194011A8 - 50 = 1158500 - 30 = 4H0
1130 × 52 = 104000270 × 32 = 86401A6 × 28 = 5000DA × 1C = 11C0
2400 ÷ 13 = 144576 ÷ 9 = 64400 ÷ 9 = 5418G ÷ 9 = 34
3430 ÷ 13 = 230810 ÷ 9 = 90576 ÷ 9 = 7620A ÷ 9 = 4A
220 = 30544212 = 4096210 = 24542C = A4G

Puissance

  • Sénaire : 10 = 2×3
  • Décimal : 10 = 2×5
  • Duodécimal : 10 = 4×3 = 22×3
  • Vicésimal : 10 = 4×5 = 22×5
Puissance de douze par la notation duodécimal
ExposantDuodécimalEquivalent en sénaireEquivalent en décimalEquivalent en vicésimal
1douze (ou une douzaine) : 102012C
2une grosse : 100202 = 400122 = 144C2 = 74
3une grande grosse : 1 000203 = 12 000123 = 1 728C3 = 468
4douze grandes grosses : 10 000204 = 240 000124 = 20 736C4 = 2 BGG
5100 000205 = 5 200 000125 = 248 832C5 = 1B 21C
61 000 0002010 = 144 000 000126 = 2 985 984C6 = ID 4J4
710 000 0002011 = 3 320 000 000127 = 35 831 808C7 = B3I JA8
8100 000 0002012 = 110 400 000 000128 = 429 981 696C8 = 6 E77 E4G
91 000 000 0002013 = 2 212 000 000 000129 = 5 159 780 352C9 = 40 C8C AHC
A10 000 000 0002014 = 44 2400 0000 00001210 = 61 917 364 224CA = 287 93A AB4
B100 000 000 0002015 = 1325 2000 0000 00001211 = 743 008 370 688CB = 1 909 A26 6E8
101 000 000 000 0002020 = 30 544 000 000 000 0001212 = 8 916 100 448 256CC = H 85E 17G 0CG
-10,10,031/121/C
-20,010,00131/1441/74
-30,0010,0000431/17281/468

Fractions

  • 1 / 2 = 0,6
  • 1 / 3 = 0,4
  • 1 / 4 = 0,3
  • 1 / 6 = 0,2
  • 1 / 8 = 0,16
  • 1 / 9 = 0,14

D'autres s'expriment de manière plus compliquée (A = dix, B = onze) :

  • 1 / 5 = 0,2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,25)
  • 1 / 7 = 0,186A35 186A35 avec chiffres périodiques
  • 1 / A = 0,1 2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,125)
  • 1 / B = 0,1 1 avec chiffres périodiques

Quelle que soit la base utilisée, une fraction irréductible peut s'exprimer en numération de position avec un nombre fini de chiffres si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des diviseurs de cette base.

Fraction principale
  • 1 / 2 = 0,6
  • 1 / 3 = 0,4
  • 2 / 3 = 0,8
  • 1 / 4 = 0,3
  • 3 / 4 = 0,9
  • 1 / 5 = 0,2497…
  • 2 / 5 = 0,4927…
  • 3 / 5 = 0,7249…
  • 4 / 5 = 0,9724…
Exemple de calcul
  • Décimal 1/3 indivisible
    • Décimal : 100 ÷ 3 = 33,3333…
    • Duodécimal : 84 ÷ 3 = 29,4
  • Hexadécimal 1/3 indivisible
    • Hexadécimal : 100 ÷ 3 = 55,5555…
    • Duodécimal : 194 ÷ 3 = 71,4
  • Décimal 1/9 indivisible
    • Décimal : 100 ÷ 9 = 11,11111…
    • Duodécimal : 84 ÷ 9 = B.14
  • Hexadécimal 1/9 indivisible
    • Hexadécimal : 100 ÷ 9 = 1C,71C…
    • Duodécimal : 194 ÷ 9 = 24,54
Fraction équivalente de duodécimal et sénaire
Notation décimalFraction duodécimalDécimale en duodécimalÉquivalent en sénaireFraction sénaire
1/21/20,60,31/2
1/31/30,40,21/3
1/41/40,30,131/4
1/61/60,20,11/10
1/81/80,160,0431/12
1/91/90,140,041/13
1/121/100,10,031/20
1/161/140,090,02131/24
1/181/160,080,021/30
1/241/200,060,0131/40
1/271/230,0540,0121/43
1/321/280,0460,010431/52
1/361/300,040,011/100
1/481/400,030,00431/120
1/541/460,0280,0041/130
1/641/540,0230,0032131/144
1/721/600,020,0031/200
1/811/690,01940,00241/213
1/961/800,0160,002131/240
1/1081/900,0140,0021/300
1/1281/A80,01160,00140431/332
1/1441/1000,010,00131/400
1/1621/1160,00A80,00121/430
1/1921/1400,0090,0010431/520
1/2161/1600,0080,0011/1000
1/2431/1830,007140,000521/1043
1/2561/1940,00690,000502131/1104
1/2881/2000,0060,000431/1200
1/4321/3000,0040,00031/2000
1/4861/3460,003680,000241/2130
1/5121/3680,003460,0002310431/2212
1/5761/4000,0030,0002131/2400
1/6481/4600,00280,00021/3000
1/7291/5090,0024540,0001441/3213
1/8641/6000,0020,000131/4000
1/9721/6900,001940,000121/4300
1/11521/8000,00160,00010431/5200
1/12961/9000,00140,00011/10000
1/14581/A160,0012280,0000521/10430
1/17281/10000,0010,0000431/12000
1/19441/11600,000A80,000041/13000
1/21871/13230,00095940,00003321/14043
1/40961/24540,0005090,0000152202131/30544
1/65611/39690,00031B140,000011041/50213

Fraction décimale et fraction duodécimale

Ainsi, en base dix (= 2 × 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 sont finies :

,
,

et

=

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme 0,125, 0,05, et 0,002 respectivement. Cependant,

et

donnent les répétitions 0,333... et 0,142857 142857...

Dans le système duodécimal (= 2×2×3) :

1 / 8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule ;
1 / 20 et 1 / 500 nécessitent une répétition périodique de chiffres après la virgule parce que leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;
1 / 3 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule ;
1 / 7 nécessite une répétition périodique de chiffres après la virgule, comme en base dix.

On peut arguer que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé.

Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les douze mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs. Bien que 1/3 et 1/9 soient divisibles, le système duodécimal est moins pratique que le sénaire lorsque nous divisons par de grandes puissances de trois. Par exemple, le chiffre approximatif de annuel (2/3-6. 2/3213 sénaire ou 2/509 duodécimal) est 0,000332 en sénaire (332 / 1,000,000 → 332 = 211 en sénaire), mais 0,0048A8 en duodécimal (101,532 / 144,000,000 → 101,532 = 221 en sénaire).

Plaidoyer pour le dozénalisme

Il existe deux organismes la Dozenal Society of America et la Dozenal Society of Great Britain qui font la promotion du système duodécimal en affirmant qu'un système en base douze est meilleur que le système décimal tant du point de vue mathématique que pour les questions pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des diviseurs de douze, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

Un temps dozénal (ou duodécimal) et son horloge[7] ont également été proposés.

Notes

  1. Outre sa signification numérique, le terme duodecim est une métonymie utilisée pour désigner la Loi des douze tables, le fondement du droit romain.
  2. Dictionnaire Gaffiot, p. 569.
  3. Jean-Pierre Verdet, Histoire de l'astronomie ancienne et classique, Presses universitaires de France, , p. 16.
  4. Grosse sur le wiktionnaire.
  5. Dirk Huylebrouck, Afrique et Mathématiques, Asp, Vubpress, Upa, , p. 67
  6. Notations malheureuses puisque dans « 1212 », les deux nombres notés 12 ont des sens différents ! Le premier vaut quatorze et le deuxième, douze.
  7. « Dozenal clock », sur Dozenal society.

Bibliographie

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