Système sénaire

Un système sénaire est un système de numération de base six.

La notation sénaire positionnelle nécessite l'emploi de six chiffres. On utilise d'habitude les chiffres 0 à 5 du système décimal. On différencie alors les notations décimales des notations sénaires au moyen d'un indice 10 ou 6. Ainsi, 1456 = 6510.

Notation

Numéro de puissance

  • Sénaire : 10 = 2×3
  • Décimal : 10 = 2×5
  • Duodécimal : 10 = 4×3
  • Vicésimal : 10 = 4×5
puissance de six par la notation sénaire
ExponentSénaireEquivalent en décimalEquivalent en duodécimalEquivalent en vicésimal
110666
210062 = 3662 = 3062 = 1G
31 00063 = 21663 = 16063 = AG
410 00064 = 1 29664 = 90064 = 34G
5100 00065 = 7 77665 = 4 60065 = J8G
101 000 00066 = 46 65666 = 23 00066 = 5 GCG
1110 000 00067 = 279 93667 = 116 00067 = 1E JGG
12100 000 00068 = 1 679 61668 = 690 00068 = A9 J0G
131 000 000 00069 = 10 077 69669 = 3 460 00069 = 32J E4G
1410 000 000 000610 = 60 466 1766A = 18 300 0006A = IHI 58G
15100 000 000 000611 = 362 797 0566B = A1 600 0006B = 5 D79 CCG
201 000 000 000 000612 = 2 176 782 336610 = 509 000 0006C = 1E 04H FGG
2110 000 000 000 000613 = 13 060 694 016611 = 2 646 000 0006D = A4 196 F0G
22100 000 000 000 000614 = 78 364 164 096612 = 13 230 000 0006E = 314 8G0 A4G
231 000 000 000 000 000615 = 470 184 984 576613 = 77 160 000 0006F = I76 CG3 18G
2410 000 000 000 000 000616 = 2 821 109 907 456614 = 396 900 000 0006G = 5 A3J GGI 8CG
25100 000 000 000 000 000617 = 16 926 659 444 736615 = 1 A94 600 000 0006H = 1D 13J 11A BGG
301 000 000 000 000 000 000618 = 101 559 956 668 416616 = B 483 000 000 0006I = 9I 73E 693 B0G

Passage du système sénaire au système décimal et réciproquement

Du sénaire au décimal

Voici les premiers nombres de 1 à 40 et de 91 à 110 exprimés en notation positionnelle sénaire puis décimale.

Sénaire 12345101112131415202122232425303132
Décimal 1234567891011121314151617181920
Sénaire 333435404142434445505152535455100101102103104
Décimal 2122232425262728293031323334353637383940
Sénaire 231232233234235240241242243244245250251252253254255300301302
Décimal 919293949596979899100101102103104105106107108109110

Sénaire exprime six comme "10", dix (décimal 10) comme "14" à savoir "six plus quatre", douze (décimal 12) comme "20" à savoir "deux six". Les chiffres des multiples de trois se terminent par 3 ou 0, par ex. décimale 21 (deux dix et une) est exprimée en "33" (trois six et trois), décimal 27 (deux dix et sept) est exprimée en "43" (quatre six et trois). Numéros de plus de 100 (décimal 36), par exemple décimal 100 est exprimée en "244" pour dire "deux des six carrés, quatre six et quatre". Aussi, les multiples de neuf (13) seront les deux derniers chiffres l'un des 13, 30, 43, 00.

Décomposition de la notation
  • 810 = 126 = 1×6 + 2
  • 1010 = 146 = 1×6 + 4
  • 1210 = 206 = 2×6
  • 2710 = 436 = 4×6 + 3
  • 3010 = 506 = 5×6
  • 3610 = 1006 = 1×62
  • 4910 = 1216 = 1×62 + 2×61 + 1
  • 5610 = 1326 = 1×62 + 3×61 + 2
  • 6410 = 1446 = 1×62 + 4×61 + 4
  • 8110 = 2136 = 2×62 + 1×61 + 3
  • 10010 = 2446 = 2×62 + 4×61 + 4
  • 10810 = 3006 = 3×62
  • 12510 = 3256 = 3×62 + 2×61 + 5
  • 14410 = 4006 = 4×62
  • 17510 = 4516 = 4×62 + 5×61 + 1
  • 18010 = 5006 = 5×62
  • 21610 = 10006 = 1×63
  • 25610 = 11046 = 1×63 + 1×62 + 0×61 + 4
  • 56910 = 23456 = 2×63 + 3×62 + 4×61 + 5
  • 72910 = 32136 = 3×63 + 2×62 + 1×61 + 3
  • 100010 = 43446 = 4×63 + 3×62 + 4×61 + 4
  • 108010 = 50006 = 5×63
  • 129610 = 100006 = 1×64
  • 194410 = 130006 = 1×64 + 3×63
  • 200010 = 131326 = 1×64 + 3×63 + 1×62 + 3×61 + 2
  • 500010 = 350526 = 3×64 + 5×63 + 0×62 + 5×61 + 2
  • 656110 = 502136 = 5×64 + 0×63 + 2×62 + 1×61 + 3
Exemples d'opérations arithmétiques
Décimal Sénaire
1944 + 56 = 200013000 + 132 = 13132
100 - 64 = 36244 - 144 = 100
81 × 16 = 1296213 × 24 = 10000
1080 ÷ 27 = 405000 ÷ 43 = 104
64 / 144 = 4 / 9144 / 400 = 4 / 13
38 = 6561312 = 50213
Date et heure
Événement Décimal Sénaire
La mort d'Alfred Nobel10 / 12 / 189614 / 20 / 12440
Bombardement atomique d'Hiroshima6 / 8 / 194510 / 12 / 13001
Attentats du 11 septembre 200111 / 9 / 200115 / 13 / 13133

Du décimal au sénaire

Voici quelques points de repère.

Décimal 12345679121824273036
Sénaire 123451011132030404350100
Décimal 42721081441802163244326489721080129619442592
Sénaire 110200300400500100013002000300043005000100001300020000

Fractions et divisibilité

Six est le produit de deux nombres premiers, à savoir 2 et 3. Il en résulte que certaines propriétés de la notation positionnelle sénaire rappellent celles de la notation positionnelle décimale.

Toutes les fractions dont le dénominateur ne connaît d'autre facteur premier que 2 et 3 s'expriment en sénaire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal.) Six et dix sont seul nombre pair, un quart est exprimé en deux chiffres après la virgule. Ainsi, système sénaire et décimal, la position de 3 et 5 est inversée. (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal). Par exemple, "0,2" est de 1/5 (à savoir deux dixièmes) en décimal, mais 1/3 (à savoir deux sixièmes) en sénaire.

Dans la notation sénaire, réciproques des puissances de 2 sont puissances de 3, réciproques des puissances de 3 sont puissances de 2, la division par des puissances de 2 et 3 devient plus facile que toute notation. Ainsi, les puissances de 3 deviennent dominantes, les puissances de 5 deviennent faibles.

Tous les nombres se terminant en sénaire par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 0, 2, 4 — sont divisibles par 2; et tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 3 — soit 0 et 3 — divisibles par 3. (de même qu'en décimal, tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 0, 2, 4, 6, 8  sont divisibles par 2; et tous les nombres se terminant par un multiple de 5 — soit 0 et 5 — divisibles par 5.)

Un nombre premier autre que 2 ou 3 ne peut donc se terminer en sénaire que par 1 ou 5 (en décimal un nombre premier autre que 2 ou 5 ne peut se terminer que par 1, 3, 7 ou 9).

Factorisation Décimal Sénaire
21/2 = 0,51/2 = 0,3
31/3 = 0,33 répétition1/3 = 0,2
221/4 = 0,251/4 = 0,13
51/5 = 0,21/5 = 0,11 répétition
2×31/6 = 0,166 répétition1/10 = 0,1
111/7 = 0,142857142857 répétition1/11 = 0,0505 répétition
231/8 = 0,1251/12 = 0,043
321/9 = 0,11 répétition1/13 = 0,04
2×51/10 = 0,11/14 = 0,033 répétition
151/11 = 0,0909 répétition1/15 = 0,03134524210313452421 répétition
22×31/12 = 0,08333 répétition1/20 = 0,03
211/13 = 0,076923076923 répétition1/21 = 0,024340531215024340531215 répétition
2×111/14 = 0,0714285714285 répétition1/22 = 0,02323 répétition
3×51/15 = 0,066 répétition1/23 = 0,022 répétition
241/16 = 0,06251/24 = 0,0213
2×321/18 = 0,055 répétition1/30 = 0,02
22×51/20 = 0,051/32 = 0,0144 répétition
23×31/24 = 0,04166 répétition1/40 = 0,013
521/25 = 0,041/41 = 0.0123501235 répétition
331/27 = 0,037037 répétition1/43 = 0,012
251/32 = 0,031251/52 = 0,01043
22×321/36 = 0,0277 répétition1/100 = 0,01
23×51/40 = 0,0251/104 = 0,00522 répétition
24×31/48 = 0,020833 répétition1/120 = 0,0043
2×521/50 = 0,021/122 = 0,00415304153 répétition
2×331/54 = 0,0185185 répétition1/130 = 0,004
2101/64 = 0,0156251/144 = 0,003213
23×321/72 = 0,01388 répétition1/200 = 0,003
24×51/80 = 0,01251/212 = 0,002411 répétition
341/81 = 0,012345679012345679 répétition1/213 = 0,0024
25×31/96 = 0,0104166 répétition1/240 = 0,00213
22×521/100 = 0,011/244 = 0,002054320543 répétition
22×331/108 = 0,00925925 répétition1/300 = 0,002
531/125 = 0,0081/325 = 0,0014211153224043351545031
0014211153224043351545031 répétition
2111/128 = 0,00781251/332 = 0,0014043
24×321/144 = 0,006944 répétition1/400 = 0,0013
25×51/160 = 0,006251/424 = 0,0012033 répétition
2×341/162 = 0,0061728395061728395 répétition1/430 = 0,0012
210×31/192 = 0,00520833 répétition1/520 = 0,001043
23×521/200 = 0,0051/532 = 0,0010251402514 répétition
23×331/216 = 0,004629629 répétition1/1000 = 0,001

Fraction principale

Jusqu'à 2 décimales
  • 1 / 2 = 0,3
  • 1 / 3 = 0,2
  • 2 / 3 = 0,4
  • 1 / 4 = 0,13 (equivalent en décimal : 9 / 36)
  • 3 / 4 = 0,43 (equivalent en décimal : 27 / 36)
  • 1 / 5 = 0.1111…
  • 2 / 5 = 0.2222…
  • 3 / 5 = 0.3333…
  • 4 / 5 = 0.4444…
  • (1 / 6)dix = 1 / 10 = 0,1
  • (5 / 6)dix = 5 / 10 = 0,5
  • (1 / 9)dix = 1 / 13 = 0,04 (equivalent en décimal : 4 / 36)
  • (2 / 9)dix = 2 / 13 = 0,12 (equivalent en décimal : 8 / 36)
  • (4 / 9)dix = 4 / 13 = 0,24 (equivalent en décimal : 16 / 36)
  • (5 / 9)dix = 5 / 13 = 0,32 (equivalent en décimal : 20 / 36)
  • (7 / 9)dix = 11 / 13 = 0,44 (equivalent en décimal : 28 / 36)
  • (8 / 9)dix = 12 / 13 = 0,52 (equivalent en décimal : 32 / 36) (approximation de décimal 0,9)
Douzièmes (1 / 22×3)
  • (1 / 12)dix = 1 / 20 = 0,03 (equivalent en décimal : 3 / 36)
  • (5 / 12)dix = 1 / 20 = 0,23 (equivalent en décimal : 15 / 36)
  • (7 / 12)dix = 1 / 20 = 0,33 (equivalent en décimal : 21 / 36)
  • (11 / 12)dix = 1 / 20 = 0,53 (equivalent en décimal : 33 / 36)
Huitièmes (2-3)
  • (1 / 8)dix = 1 / 12 = 0,043 (equivalent en décimal : 27 / 216)
  • (3 / 8)dix = 3 / 12 = 0,213 (equivalent en décimal : 81 / 216)
  • (5 / 8)dix = 5 / 12 = 0,343 (equivalent en décimal : 135 / 216)
  • (7 / 8)dix = 11 / 12 = 0,513 (equivalent en décimal : 189 / 216)
Vingt-septièmes (3-3)
  • (1 / 27)dix = 1 / 43 = 0,012 (equivalent en décimal : 8 / 216)
  • (4 / 27)dix = 4 / 43 = 0,052 (equivalent en décimal : 32 / 216) (approximation de décimal 0,15)
  • (8 / 27)dix = 12 / 43 = 0,144 (equivalent en décimal : 64 / 216) (approximation de décimal 0,3)
  • (11 / 27)dix = 15 / 43 = 0,224 (equivalent en décimal : 88 / 216) 
  • (16 / 27)dix = 24 / 43 = 0,332 (equivalent en décimal : 128 / 216) (approximation de décimal 0,6)
  • (19 / 27)dix = 31 / 43 = 0,412 (equivalent en décimal : 152 / 216)
  • (23 / 27)dix = 35 / 43 = 0,504 (equivalent en décimal : 184 / 216)

Exemple de calcul

1/3
  • Octal : 100 ÷ 3 = 25,2525…
  • Sénaire : 144 ÷ 3 = 33,2
  • Décimal : 100 ÷ 3 = 33,3333…
  • Sénaire : 244 ÷ 3 = 53,2
  • Hexadécimal : 100 ÷ 3 = 55,5555…
  • Sénaire : 1104 ÷ 3 = 221,2
1/9
  • Octal : 100 ÷ 11 = 7,0707…
  • Sénaire : 144 ÷ 13 = 11,04
  • Décimal : 1000 ÷ 9 = 111,1111…
  • Sénaire : 4344 ÷ 13 = 303,04
  • Hexadécimal : 100 ÷ 9 = 1C,71C71C…
  • Sénaire : 1104 ÷ 13 = 44,24
1/14 en sénaire (1/10 en décimal)
  • Décimal : 3 ÷ 10 = 0,3
  • Sénaire : 3 ÷ 14 = 0,1444…
  • Décimal : 7 ÷ 10 = 0,7
  • Sénaire : 11 ÷ 14 = 0,4111…
  • Décimal : 9 ÷ 10 = 0,9
  • Sénaire : 13 ÷ 14 = 0,5222…
1 / 33 (1/27 en décimal)
  • Décimal : 8 ÷ 27 = 0,296296…
  • Sénaire : 12 ÷ 43 = 0,144
  • Décimal : 19 ÷ 27 = 0,703703…
  • Sénaire : 31 ÷ 43 = 0,412
  • Décimal : 100 ÷ 27 = 3,703703…
  • Sénaire : 244 ÷ 43 = 3,412
  • Hexadécimal : 100 ÷ 1B = 9.7B425ED09 7B425ED09…
  • Sénaire : 1104 ÷ 43 = 13,252
1 / 23 (1/8 en décimal)
  • Décimal : 27 ÷ 8 = 3,375
  • Sénaire : 43 ÷ 12 = 3,213
  • Décimal : 100 ÷ 8 = 12,5
  • Sénaire : 244 ÷ 12 = 20,3
1 / 24 (1/16 en décimal)
  • Décimal : 11 ÷ 16 = 0,6875
  • Sénaire : 15 ÷ 24 = 0,4043
  • Décimal : 2023 ÷ 16 = 126,4375
  • Sénaire : 13211 ÷ 24 = 330,2343
  • Décimal : 6561 ÷ 16 = 410,0625
  • Sénaire : 50213 ÷ 24 = 1522,0213
1 / 34 (1/81 en décimal)
  • Décimal : 32 ÷ 81 = 0,395061728 395061728…
  • Sénaire : 52 ÷ 213 = 0,2212
  • Décimal : 625 ÷ 81 = 7.716049382 716049382…
  • Sénaire : 2521 ÷ 213 = 11,4144
  • Décimal : 4096 ÷ 81 = 50,567901234 567901234…
  • Sénaire : 30544 ÷ 213 = 122,3224

Dans les langues naturelles

Les cultures qui comptent en base 6 sont rares. L'examen du développement des systèmes de numération suggère une limite de numérosité à la valeur 6, conceptualisé comme formant un tout, « le poing », « au-delà des cinq doigts »[1]. Les chiffres 1 à 6 sont alors des formes pures et les nombres qui suivent sont construits ou sont des emprunts[2].

La langue ndom de Papouasie-Nouvelle-Guinée utilise un système sénaire[3].

Système sénaire du ndom
Numéral Sénaire Décimal Traduction
mer 10 6 6
mer an thef 20 12 6 × 2
nif 100 36 62
nif thef 200 72 62 × 2

Dans les langues morehead-maro, le système de numération est lié à des rituels de comptage d'ignames[4]. Ces langues comptent sur une base six et ont des termes spécifiques pour les puissances de six ; jusqu'à 1010 = 1 000 000 en sénaire c'est-à-dire 66 = 46 656 en décimal, dans certaines de ces langues.

Système sénaire du kómnzo
Numéral Sénaire Décimal
nimbo 10 6
féta 100 36
tarumba 1000 216
ntamno 10000 1296
wärämäkä 100000 7776
wi 1000000 46656

Certaines langues nigéro-congolaises utilisent un système sénaire, en complément d'un autre système (décimal ou vigésimal)[2]. Le proto-ouralien aurait utilisé un système sénaire, le chiffre 7 aurait été emprunté tardivement, bien que la construction des grands chiffres (8 et 9) par soustraction à partir de 10 suggère une autre hypothèse[2].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de la page de Wikipédia en anglais intitulée « Senary » (voir la liste des auteurs).

  1. Juliette Blevins, « Origins of Northern Costanoan ʃak:en ‘six’:A Reconsideration of Senary Counting in Utian », International Journal of American Linguistics, vol. 71, no 1, , p. 87–101 (DOI 10.1086/430579, JSTOR 10.1086/430579)
  2. « Archived copy » [archive du ] (consulté le 27 août 2014)
  3. (en) Kay Owens, « The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania », Mathematics Education Research Journal, vol. 13, no 1, , p. 47–71 (DOI 10.1007/BF03217098, lire en ligne[archive du ])
  4. (en-US) « How to count to 1296 in Ngkolmpu – MORPH », sur morph.surrey.ac.uk (consulté le 25 juin 2018)

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