Tenseur énergie-impulsion

Le tenseur énergie-impulsion est un outil mathématique utilisé notamment en relativité générale afin de représenter la répartition de masse et d'énergie dans l'espace-temps.

La théorie de la relativité restreinte d'Einstein établissant l'équivalence entre masse et énergie, la théorie de la relativité générale indique que ces dernières courbent l'espace. L'effet visible de cette courbure est la déviation de la trajectoire des objets en mouvement, observé couramment comme l'effet de la gravitation.

Histoire

La notion de tenseur énergie-impulsion a été introduite en par Hermann Minkowski[1],[2]. Mais celui-ci ne l'a appliquée qu'au champ électromagnétique[1]. Max von Laue en aurait généralisé d'emploi[1],[3]. En 1908, Max Planck énonce la propriété d'égalité du flux d'énergie et de la densité d'impulsion[4] qui avait été établie en , dans le champ électromagnétique, par Henri Poincaré[1],[5].

Tenseur énergie-impulsion

Les composants du tenseur énergie-impulsion.

Le tenseur énergie-impulsion peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4x4 réelle symétrique :

Ce tenseur dérive des flux du quadri-moment (quadrivecteur impulsion-énergie) à travers des surfaces de coordonnée constante.

On y retrouve les grandeurs physiques suivantes :

  • T00 est la densité d'énergie[6]. Elle est positive ;
  • T0i est le flux d'énergie à travers la surface unité suivant i[6] ;
  • Ti0 est la densité de la ie composante d'impulsion[6] ;
  • Par symétrie, {T01, T02, T03 }={T10, T20, T30} et sont donc aussi des densités de moments.


La sous-matrice 3 x 3 des composantes spatiale :

est la matrice des flux de moments. En mécanique des fluides, sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes correspondent aux efforts tangentiels dus à la viscosité.

Construction

Pour une théorie décrite par une densité lagrangienne , l'action s'écrit comme une intégrale sur l'espace-temps :

est le déterminant du tenseur métrique de l'espace-temps. Le tenseur énergie-impulsion associé est défini par la variation de l'action par rapport à la métrique inverse :

Exemples

Pour un fluide au repos, le tenseur énergie-impulsion se réduit à la matrice diagonale diag(ρc^2,p,p,p)ρ est la masse volumique et p la pression hydrostatique.

Propriétés

Le tenseur énergie-impulsion est un tenseur d'ordre 2[7],[8],[9].

Il est symétrique[7],[10],[11] :

.

Le tenseur énergie-impulsion est de divergence nulle[7] :

.

Dans le cas d'un fluide parfait, où , en métrique plate, cette condition de divergence nulle redonne l'équation de conversion de la masse en régime permanent : div (ρv) = 0

La dimension du tenseur énergie-impulsion est celle d'une densité d'énergie, c'est-à-dire celle du produit d'une densité d'impulsion par une vitesse[12]. Son unité SI est le joule par mètre cube (Jm–3)[12].

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

  • [Barrau et Grain 2016] Aurélien Barrau et Julien Grain, Relativité générale : cours et exercices corrigés, Malakoff et Paris, Dunod, coll. « Sciences Sup / Physique », , 2e éd. (1re éd. ), 1 vol., VIII-231 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, notice BnF no FRBNF45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 5 (« Second aspect de la relativité générale : comment la masse crée la courbure »), [sect.] 5.2 (« Tenseur énergie-impulsion »), p. 80-83.
  • [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon (préf. de Thibault Damour), Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS Éditions, coll. « Savoirs actuels / Physique », (réimpr. ), 1re éd., 1 vol., XXVI-776 p., 15 × 23 cm (ISBN 2-271-07018-X, 978-2-271-07018-0, 2-75980-067-9 et 978-2-7598-0067-4, OCLC 690639994, notice BnF no FRBNF41411713, SUDOC 14466514X, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 19 (« Tenseur énergie-impulsion »), p. 619-632.
  • [Laue 1911] (de) Max von Laue, « Zur Dynamik der Relativitätstheorie », Annalen der Physik, 4e série, t. 35, no 8, , p. 524-542 (lire en ligne, consulté le 22 décembre 2017).
  • [Minkowski 1908] (de) Hermann Minkowski, « Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern » [« Les équations fondamentales des phénomènes électromagnétiques dans les corps en mouvement »], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse, , p. 53-111 (lire en ligne, consulté le 22 décembre 2017).
  • [Planck 1908] (de) Max Planck, « Bemerkungen zum Prinzip der Aktion und Reaktion in der allgemeinen Dynamik », Physikalische Zeitschrift, vol. 9, , p. 828-830.
  • [Poincaré 1900] Henri Poincaré, « La théorie de Lorentz et le principe de la réaction », Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles, 2e série, t. 5, , p. 252-278.
  • [Rougé 2008] André Rougé, Relativité restreinte : la contribution d'Henri Poincaré, Palaiseau et Paris, École polytechnique, coll. « Histoire de la physique », , 1re éd., 1 vol., 276-[I] p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7302-1525-1, EAN 9782730215251, OCLC 436981772, notice BnF no FRBNF41470293, SUDOC 131051431, présentation en ligne, lire en ligne).
  • [Semay et Silvestre-Brac 2016] C. Semay et B. Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et applications : cours et exercices corrigés, Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. / Physique », , 3e éd. (1re éd. ), 1 vol., X-309 p., ill., 24 cm (ISBN 978-2-10-074703-0, EAN 9782100747030, OCLC 945975983, notice BnF no FRBNF45019762, SUDOC 192365681, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 12 (« Tenseurs énergie-impulsion »), p. 256-267.
  • [Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., , 4e éd. (1re éd. ), 1 vol., X-966 p., ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. tenseur énergie-impulsion, p. 721.

Articles connexes

Liens externes

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