Tenseur de Levi-Civita

Dans un espace euclidien orienté il existe une forme volume canonique, notée ici ${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}}$, définie comme l'unique forme volume telle que ${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}(B)=1}$ pour une (et donc pour toute) base orthonormale directe ${\displaystyle B}$.

Le tenseur ${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}}$ est aussi appelé tenseur de Levi-Civita ou encore tenseur dualiseur.

Dans une base ${\displaystyle B}$ quelconque, on note ${\displaystyle (g_{ij})}$ la matrice du tenseur métrique et ${\displaystyle (g^{ij})}$ sa matrice inverse. Le déterminant ${\displaystyle g=\det \nolimits _{B}(g_{ij})}$ peut s'exprimer à l'aide du symbole de Levi-Civita.

${\displaystyle g_{i_{1}j_{1}}\ldots g_{i_{N}j_{N}}\epsilon ^{j_{1}\ldots j_{N}}=g\epsilon _{i_{1}\ldots i_{N}}}$

Les coordonnées covariantes et contravariantes du tenseur de Levi-Civita vérifient les relations

${\displaystyle *_{i_{1}\ldots i_{N}}=g_{i_{1}j_{1}}\ldots g_{i_{N}j_{N}}*^{j_{1}\ldots j_{N}}}$

et

${\displaystyle *^{i_{1}\ldots i_{N}}=g^{i_{1}j_{1}}\ldots g^{i_{N}j_{N}}*_{j_{1}\ldots j_{N}}}$

On en déduit, dans une base directe quelconque, les relations

${\displaystyle *_{i_{1}\ldots i_{N}}={\sqrt {g}}\epsilon _{i_{1}\ldots i_{N}}}$

et

${\displaystyle *^{i_{1}\ldots i_{N}}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\epsilon ^{i_{1}\ldots i_{N}}}$

Puisque ${\displaystyle g=1}$ dans une base orthonormale, on retrouve ce qui est dit en introduction.

Dans une base rétrograde (ou indirecte), l'expression des coordonnées à l'aide du symbole de Levi-Civita est légèrement modifiée : il faut remplacer ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$ par ${\displaystyle -{\sqrt {g}}}$.

Dans un espace pseudo-euclidien le déterminant du tenseur métrique n'est pas nécessairement positif. Par exemple dans le cas de l'espace de Minkowski (l'espace-temps quadridimensionnel de la relativité restreinte), le déterminant du tenseur métrique est négatif.

Les relations précédentes peuvent s'écrire, dans une base directe quelconque, sous une forme valable quel que soit le signe de ${\displaystyle g}$

${\displaystyle *_{i_{1}\ldots i_{N}}={\sqrt {|g|}}\epsilon _{i_{1}\ldots i_{N}}}$

et

${\displaystyle *^{i_{1}\ldots i_{N}}={\frac {\sqrt {|g|}}{g}}\epsilon ^{i_{1}\ldots i_{N}}}$

La remarque concernant les bases rétrogrades est toujours valable.

Les formules suivantes découlent directement des formules obtenues avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ est le symbole de Kronecker, représentant le tenseur unité.

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :

${\displaystyle D_{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)=0}$.

Démonstration

L'expression de la dérivée covariante à partir de la dérivée simple et des symboles de Christoffel donne

${\displaystyle D_{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)=\partial _{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)+\Gamma _{kj}^{i_{1}}*^{ki_{2}\ldots i_{N}}+\Gamma _{kj}^{i_{2}}*^{i_{1}k\ldots i_{N}}+\ldots +\Gamma _{kj}^{i_{N}}*^{i_{1}i_{2}\ldots k}}$

Réécrivons premier terme sous la forme

${\displaystyle \partial _{j}\left({\frac {\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}}{\sqrt {\det {g}}}}\right)}$.

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N étant constant, ce terme devient

${\displaystyle \epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\partial _{j}\left({\frac {1}{\sqrt {\det {g}}}}\right)}$.

Dans la liste des termes suivants, le premier se réduit à sa valeur pour laquelle ${\displaystyle k=i_{1}}$, le deuxième à sa valeur pour laquelle ${\displaystyle k=i_{2}}$, etc. La somme des N termes vaut donc ${\displaystyle \Gamma _{kj}^{k}*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}}$. Étant donné l'expression de la contraction du symbole de Christoffel

${\displaystyle \Gamma _{kj}^{k}=-\partial _{j}\left({\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\right)}$,

on trouve

${\displaystyle D_{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)=0}$.

∎

Un vecteur ${\displaystyle b^{k}}$ possède un tenseur antisymétrique dual

${\displaystyle \left[*b\right]_{ij}=*_{ijk}b^{k}}$.

Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique ${\displaystyle a^{ij}}$ est un vecteur

${\displaystyle \left[*a\right]^{i}={\frac {1}{2}}\times *^{ijk}a_{jk}.}$

Le dual du dual est le vecteur ou le tenseur antisymétrique lui-même. En effet, on a pour un vecteur

${\displaystyle \left[**b\right]^{i}={\frac {1}{2}}*^{ijk}\left[*b\right]_{jk}={\frac {1}{2}}*^{ijk}*_{jkl}b^{l}=\delta _{l}^{i}b^{l}=b^{i}}$

et pour un tenseur antisymétrique

${\displaystyle \left[**a\right]^{ij}={\frac {1}{2}}*^{ijk}\left[*a\right]_{k}={\frac {1}{2}}*^{ijk}*_{klm}a^{lm}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{lm}^{ij}-\delta _{ml}^{ij}\right)a^{lm}=a^{ij}}$