Tenseur de Levi-Civita

Dans un espace euclidien orienté de dimension , le tenseur de Levi-Civita – ou tenseur dualiseur – est le tenseur dont les coordonnées dans une base orthonormale directe sont données par le symbole de Levi-Civita d'ordre N. En effet, le symbole de Levi-Civita d'ordre N ou (aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique) n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

Pour les articles homonymes, voir Levi et Civita (homonymie).

Tenseur dualiseur

Définition

Dans un espace euclidien orienté il existe une forme volume canonique, notée ici , définie comme l'unique forme volume telle que pour une (et donc pour toute) base orthonormale directe .

Le tenseur est aussi appelé tenseur de Levi-Civita ou encore tenseur dualiseur.

Coordonnées covariantes et contravariantes

Dans une base quelconque, on note la matrice du tenseur métrique et sa matrice inverse. Le déterminant peut s'exprimer à l'aide du symbole de Levi-Civita.

Les coordonnées covariantes et contravariantes du tenseur de Levi-Civita vérifient les relations

et


On en déduit, dans une base directe quelconque, les relations

et

Puisque dans une base orthonormale, on retrouve ce qui est dit en introduction.

Dans une base rétrograde (ou indirecte), l'expression des coordonnées à l'aide du symbole de Levi-Civita est légèrement modifiée : il faut remplacer par .

Cas des espaces pseudo-euclidiens

Dans un espace pseudo-euclidien le déterminant du tenseur métrique n'est pas nécessairement positif. Par exemple dans le cas de l'espace de Minkowski (l'espace-temps quadridimensionnel de la relativité restreinte), le déterminant du tenseur métrique est négatif.

Les relations précédentes peuvent s'écrire, dans une base directe quelconque, sous une forme valable quel que soit le signe de

et

La remarque concernant les bases rétrogrades est toujours valable.


Propriétés du tenseur dualiseur

Produit de tenseurs dualiseurs

Les formules suivantes découlent directement des formules obtenues avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole est le symbole de Kronecker, représentant le tenseur unité.

Résultat d'ordre 2

Résultat d'ordre 4

Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :

.

Définition de tenseurs duaux au sens de Hodge

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre dans un espace de dimension définit un tenseur d'ordre , son dual au sens de Hodge.

Le produit met ici arbitrairement en jeu les derniers indices du tenseur dualiseur. On aurait aussi bien pu prendre les premiers indices. Les deux conventions différents d'un signe - dans certains cas.

Tenseurs duaux en dimension 3

Un vecteur possède un tenseur antisymétrique dual

.

Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique est un vecteur

Le dual du dual est le vecteur ou le tenseur antisymétrique lui-même. En effet, on a pour un vecteur

et pour un tenseur antisymétrique

Tenseur duaux en dimension 4

Voir aussi

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