Test de Fisher d'égalité de deux variances

Soient deux variables aléatoires indépendantes ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(m_{1},\sigma _{1}^{2}),Y\sim {\mathcal {N}}(m_{2},\sigma _{2}^{2})}$ et deux échantillons ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n_{1}}}$, ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{n_{2}}}$.

On veut tester ${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2},H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}$ , si les moyennes ${\displaystyle m_{1}}$et ${\displaystyle m_{2}}$sont inconnues on les estime par ${\displaystyle {\bar {X}}_{n_{1}}}$ et ${\displaystyle {\bar {Y}}_{n_{2}}}$ :

La statistique de test est

${\displaystyle Z={\frac {\max(S_{n_{1}}^{\ast ^{2}},S_{n_{2}}^{\ast ^{2}})}{\min(S_{n_{1}}^{\ast ^{2}},S_{n_{2}}^{\ast ^{2}})}}\sim F(n_{1}-1,n_{2}-1)}$ si ${\displaystyle \max(S_{n_{1}}^{\ast ^{2}},S_{n_{2}}^{\ast ^{2}})=S_{n_{1}}^{\ast ^{2}}}$

On rejette l'hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test ${\displaystyle z}$ est plus grande que le quantile d'ordre ${\displaystyle 1-\alpha }$ de la loi de Fisher correspondante.

On veut tester ${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2},H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}$ ,si les moyennes ${\displaystyle m_{1}}$et ${\displaystyle m_{2}}$sont connues :

La statistique de test est :

${\displaystyle Z={\frac {\max(S_{n_{1}}^{2},S_{n_{2}}^{2})}{\min(S_{n_{1}}^{2},S_{n_{2}}^{2})}}\sim F(n_{1},n_{2})}$ si ${\displaystyle \max(S_{n_{1}}^{2},S_{n_{2}}^{2})=S_{n_{1}}^{2}}$

On rejette l'hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test ${\displaystyle z}$ est plus grande que le quantile d'ordre ${\displaystyle 1-\alpha }$ de la loi de Fisher correspondante.

Ce test est particulièrement sensible à la non normalité[1]^,[2]. Donc, il existe des alternatives comme le test de Bartlett ou le test de Levene.

Le test de Chow est une application du test de Fisher pour tester l'égalité des coefficients sur deux populations différentes.

Ce test est utilisé en biologie dans la recherche de QTL.

• var.testavec R et la librairie "stats"[3]

• Ronald Aylmer Fisher
• Loi de Fisher
• Test exact de Fisher
• Test de Bartlett

• Université Paris Descartes, section Tests sur des échantillons gaussiens

• Portail des probabilités et de la statistique