Test de convergence

En mathématiques, les tests de convergence sont des méthodes de test de la convergence, de la convergence absolue, de rayon de convergence ou de la divergence d'une série .

Liste de tests

Limite des termes

Si la limite des termes est indéfinie ou non nulle, c'est-à-dire, alors la série doit diverger. En ce sens, les sommes partielles ne forment une suite de Cauchy que si cette limite existe et est égale à zéro. Le test n'est pas concluant si la limite des termes est nulle.

Test de convergence absolue

Toute série absolument convergente converge.

Test de comparaison directe

Si la série est absolument convergente et pour n suffisamment grand, alors la série converge absolument.

Application aux suites équivalentes
Si et si , alors converge si et seulement si converge.

Règles de d'Alembert et de Cauchy

Règle de d'Alembert

Ce test est également connu comme le critère de d'Alembert.

Supposons qu'il existe tel que
Si r < 1, alors la série est absolument convergente. Si r > 1, alors la série diverge. Si r = 1, le test de ratio n'est pas concluant, et la série peut converger ou diverger.

Règle de Cauchy

Ce test est également connu comme le test de la racine n-ième.

Soit 
,
où  désigne la limite supérieure (qui peut être ).
Si r < 1, alors la série converge. Si r > 1, alors la série diverge. Si r = 1, le test n'est pas concluant, et la série peut converger ou diverger.

La règle de Cauchy est plus puissante que celle de d'Alembert.

Comparaison

La règle de Cauchy est plus forte que la règle de d'Alembert (car la condition requise est plus faible) : chaque fois que la règle de d'Alembert détermine la convergence ou la divergence d'une série infinie, la règle de Cauchy le fait aussi, mais la réciproque est fausse[1].

Par exemple, pour la série

,

la convergence peut se déduire de la règle de Cauchy, mais pas de celle de d'Alembert[2].

Comparaison série-intégrale

La série peut être comparée à une intégrale pour établir sa convergence ou sa divergence. Soit  une fonction monotone.

La série converge si et seulement si l'intégrale impropre converge.

Test de Dirichlet

Si :

  • est une suite réelle monotone de limite nulle et
  • est une suite de nombres complexes dont la suite des sommes partielles est bornée,

alors converge.

Ce théorème a deux corollaires importants :

Test des séries alternées

Si :

  1. est de signe constant,
  2. ,
  3. la valeur absolue de chaque terme est inférieure à la valeur absolue du terme précédent,

alors  est convergente.

Ce test est également connu comme le critère de Leibniz.

Test d'Abel

Si :

  1. est une suite monotone et bornée et
  2. est une série convergente,

alors est aussi convergente[3].

Test de Raabe-Duhamel

Soit  une série de réels strictement positifs.

  • Si pour un certain (indépendant de ), alors converge.
  • Si , alors diverge.

Test de Bertrand

Soit une série de réels strictement positifs.

  • Si pour un certain (indépendant de ), alors converge.
  • Si , alors diverge.

Test de condensation de Cauchy

Soit une suite positive décroissante.

Soient . Alors, . En particulier :

converge si et seulement si converge.

Ce test s'applique par exemple à l'étude des séries de Riemann et des séries de Bertrand.

Convergence de produit

Soit une suite de réels positifs. Alors le produit infini converge si et seulement si la série  converge. Similairement, si , alors la limite est non nulle si et seulement si la série  converge.

Cela peut être prouvé en prenant le logarithme du produit et en utilisant le test des suites équivalentes (voir supra)[4].

Article connexe

Théorème de Stolz-Cesàro

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Convergence tests » (voir la liste des auteurs).
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