Théorème de Cauchy-Hadamard

En mathématiques, le théorème de Cauchy–Hadamard est un résultat d'analyse complexe qui décrit le rayon de convergence d'une série entière. Il a été publié en 1821 par Cauchy[1] mais est resté relativement méconnu jusqu'à sa redécouverte par Hadamard[2], qui le publia une première fois en 1888[3] puis l'inclut, en 1892, dans sa thèse[4].

Cas d'une seule variable complexe

Le rayon de convergence R d'une série entière à coefficients complexes

est donné par :

,

lim sup désigne la limite supérieure.

En particulier, si la suite (|an|1/n) est non bornée alors R = 0 – c'est-à-dire que la série diverge partout ailleurs qu'en 0 – et si cette suite converge vers 0 alors R = +∞ – c'est-à-dire que la série converge sur le plan complexe tout entier.

Cas de plusieurs variables complexes

Si α est un multi-indice, c'est-à-dire un n-uplet d'entiers naturels, notons |α| = α1 + … + αn. Alors, pour la série entière multidimensionnelle

,

D(0, ρ) (où ρ est un n-uplet de rayons) est un polydisque (en) maximal de convergence si et seulement si[5] :

.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cauchy–Hadamard theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. A. L. Cauchy, Cours d'analyse de l'École royale polytechnique : Première partie : Analyse algébrique, (lire en ligne), p. 280.
  2. (en) Umberto Bottazzini, The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer, (ISBN 978-0-387-96302-0, lire en ligne), p. 116.
  3. J. Hadamard, « Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable », CRAS, vol. 106, , p. 259-262.
  4. J. Hadamard, « Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor », J. Math. Pures Appl., 4e série, vol. VIII, (lire en ligne).
  5. (en) B. V. Shabat, Introduction to Complex Analysis: Functions of Several Variables, Partie 2, AMS, (lire en ligne), p. 32.
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