Théorème de Noether (physique)

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées.

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Emmy Noether est une mathématicienne allemande connue pour ses contributions majeures en algèbre abstraite et en physique théorique.

Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne[1].

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps.

Énoncés

Théorème de Noether  À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Un autre énoncé équivalent est :

Théorème de Noether  À toute transformation infinitésimale qui laisse le Lagrangien d'un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.

Chaque « invariance » traduit le fait que les lois de la physique ne changent pas lorsqu'une expérience subit la transformation correspondante, et donc, qu'il n'y a pas de référence absolue pour mener une telle expérience[2].

Démonstrations

Théorie des champs classique

Le théorème de Noether est aussi valide en théorie des champs classique où le lagrangien est remplacé par une densité lagrangienne qui dépend de champs plutôt que de variables dynamiques. La formulation du théorème reste sensiblement la même[3] :

Théorème de Noether  À toute transformation infinitésimale qui laisse la densité lagrangienne d'un système invariante à une quadridivergence près correspond une quantité conservée.

Exemples

Propriété du système physiqueSymétrieInvariant
Espace homogèneInvariance par translation dans l'espaceConservation de l'impulsion
Espace isotropeInvariance par rotation dans l'espaceConservation du moment cinétique
Système indépendant du tempsInvariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps)Conservation de l'énergie
Pas d'identité propre des particulesPermutation de particules identiquesStatistique de Fermi-Dirac, Statistique de Bose-Einstein
Pas de référence absolue pour la phase des particules chargéesInvariance par changement de phaseConservation de la charge électrique

Symétries internes

Notes et références

  1. (en) Leon M. Lederman et Christopher T. Hill, Symmetry and the Beautiful Universe, Prometheus Book, (ISBN 9781591025757, lire en ligne), p. 73.
  2. « Aperçu sur la relation entre le Théorème de Noether et le Lagrangien », sur www-cosmosaf.iap.fr (traduction libre par J. Fric de Noether's Theorem in a Nutshell de J. Baez).
  3. (en) Herbert Goldstein, Classical Mechanics, p. 589.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

  • Amaury Mouchet, L'Élégante Efficacité des symétries, chap. 10, Dunod, 2013 (ISBN 9782100589371) 240 pages
  • (en) Nina Byers, « E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws », Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, Université Bar-Ilan, Israël, , « physics/9807044 », texte en accès libre, sur arXiv.
  • (en) G. Sardanashvily (en), Noether conservation laws in classical mechanics, 2003. « math-ph/0302027 », texte en accès libre, sur arXiv.
  • (en) G. Sardanashvily, Noether conservation laws in quantum mechanics, 2003. « quant-ph/0302123 », texte en accès libre, sur arXiv.
  • Yvette Kosmann-Schwarzbach, Les Théorèmes de Noether : invariance et lois de conservation au XXe siècle. Avec une traduction de l'article original, « Invariante Variationsprobleme », avec la collaboration de Laurent Meersseman, École Polytechnique, 2e éd., 2004
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