Théorème de Perron-Frobenius

En algèbre linéaire et en théorie des graphes, le théorème de Perron-Frobenius, démontré par Oskar Perron et Ferdinand Georg Frobenius, a d'importantes applications en théorie des probabilités (chaînes de Markov), en théorie des systèmes dynamiques, en économie (analyse entrée-sortie[1]), en théorie des graphes, en dynamique des populations[2] (matrices de Leslie (en)) et dans l'aspect mathématique du calcul des pagerank de Google[3].

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Théorème de Perron Frobenius pour une matrice positive irréductible

Théorème de Perron-Frobenius   Soit une matrice à coefficients positifs de type et irréductible.

  • Le rayon spectral de est une valeur propre simple de , et le sous-espace propre associé est une droite vectorielle engendrée par un vecteur (colonne) strictement positif.
  • Si et sont respectivement le minimum et le maximum des sommes des éléments de chaque ligne de , on a .
  • Si alors .
  • Soit le nombre de valeurs propres (complexes) de module . Le spectre de dans le plan complexe est invariant par la rotation de centre et d'angle . En outre, si , il existe une matrice de permutation telle que , où les blocs diagonaux (nuls) sont carrés.

Applications pratiques

  • Ce théorème permet de montrer, sous certaines conditions, qu'une chaîne de Markov ergodique sur un espace d'états fini converge en loi vers son unique mesure invariante.
  • Le vecteur de Google utilisé lors du calcul des PageRank de Google est un vecteur de Perron-Frobenius[3].

Notes et références

  1. Carl Meyer, Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM (ISBN 0-89871-454-0, lire en ligne)8.3.6 p. 681)
  2. Bair Jacques, « Matrice de Leslie. Pour modéliser la dynamique d'une population structurée en classes d'âges. », Bulletin de l'APMEP, , p. 527-533 (ISSN 0240-5709, lire en ligne)
  3. Bachir Bekka, Le théorème de Perron-Frobenius, les chaînes de Markov et un célèbre moteur de recherche
  4. et est la plus grande racine réelle (c'est une racine simple) du polynôme réel qui vérifie . On voit que est strictement positive.
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