Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un théorème d'analyse, une branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

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Définitions

Définitions   Soit ν une mesure positive sur et soit ρ, ρ des mesures positives ou complexes (en) sur .

  • On dit que ρ est absolument continue par rapport à ν, et l'on note ρν, si pour tout tel que ν(A) = 0, on a également ρ(A) = 0.
  • On dit que ρ est portée par[1] (ou concentrée sur E) si pour tout on a ρ(A) = ρ(AE). (Cela équivaut à l'hypothèse : pour tout ρ(A\E) = 0.)
  • On dit que ρ et ρ sont mutuellement singulières[1] (ou étrangères), et l'on note ρ ρ, s'il existe telle que ρ soit portée par E et ρ soit portée par Ec.

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un résultat de théorie de la mesure, cependant une démonstration faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du XXe siècle[1]. Il s'énonce de la façon suivante :

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue  Soient ν une mesure positive σ-finie sur et μ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur .

  • Il existe un unique couple (μ1, μ2) de mesures positives σ-finies (resp. réelles, resp. complexes) tel que :
Cette décomposition s'appelle la décomposition de Lebesgue (en) de μ.
  • Il existe une unique (à égalité ν-presque partout près) fonction h mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe) telle que pour tout on ait :
    Cette fonction s'appelle la dérivée de Radon-Nikodym de μ1 par rapport à ν.

Densité d'une mesure

Définition   Soit ν une mesure positive σ-finie sur et soit ρ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur On dit que ρ possède une densité h par rapport à ν si h est une fonction mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe), telle que pour tout on ait :

On note

En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante :

Proposition  Soient ν une mesure positive σ-finie sur et μ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur Il y a équivalence entre :

  • μ possède une densité par rapport à ν.

L'hypothèse de σ-finitude est importante : par rapport à la mesure de comptage, une mesure est toujours absolument continue mais celle de Lebesgue sur ℝ (par exemple) n'a pas de densité.

Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

Rappel  

  • On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire X à valeurs dans ℝd une fonction f mesurable, telle que pour toute partie borélienne A ⊂ ℝd :
  • La loi de probabilité d'une variable aléatoire à valeurs dans ℝd est la mesure de probabilité définie, pour toute partie borélienne A ⊂ ℝd, par :
  • Si d = 1, X est appelée une variable aléatoire réelle, ou encore v.a.r.

Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions :

  • Une variable aléatoire Z à valeur dans ℝd possède une densité de probabilité.
  • La mesure possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝd.
  • La mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝd.

Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste.

Critère  Une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝd possède une densité de probabilité si et seulement si, pour chaque borélien A de ℝd dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a :

Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que Z possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire Z = (X, Y) possède une densité, alors :

car la mesure de Lebesgue (autrement dit, l'aire) de la première bissectrice (resp. du cercle unité) est nulle.

Plus généralement, la mesure de Lebesgue du graphe d'une fonction mesurable φ étant nulle, il suit que :

De même, il y a de nombreux exemples où, du fait que l'ensemble est de mesure de Lebesgue nulle, on peut conclure que :

Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité, par exemple si :

Θ désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 2π], alors Z ne possède pas de densité car :

Remarque  Dans le cas d = 1, une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝ possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est localement absolument continue.

Note et référence

  1. Voir par exemple Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] pour de plus amples détails.

Bibliographie

  • (en) Leo Egghe, Stopping Time Techniques for Analysts and Probabilists, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series » (ISBN 978-0-521-31715-3)
  • (en) Gerald Folland (en), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons, , 2e éd. (lire en ligne)
  • (en) J. von Neumann, « On rings of operators, III », Ann. Math., vol. 41, no 1, , p. 94-161 (lire en ligne) (cf. p. 127-130)
  • Otton Nikodym, « Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon », Fund. Mat., vol. 15, , p. 131-179 (zbMATH 56.0922.02, lire en ligne)
  • (de) J. Radon, « Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen », Sitz. Kais. Akad. Wiss. Wien, série Math.-Naturwiss. Kl. IIa, vol. 122, , p. 1295-1438
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