Théorème de Sard

Le théorème de Sard, connu aussi sous le nom de lemme de Sard ou théorème de Morse-Sard, est un résultat de mathématiques qui donne des informations sur l'image K de l'ensemble des points critiques d'une fonction suffisamment régulière d'un espace euclidien vers un autre. L'ensemble K est alors négligeable pour la mesure de Lebesgue.

Énoncé

On considère une fonction f définie sur un ouvert U de $\mathbb {R} ^{n}$ , à valeurs dans $\mathbb {R} ^{m}$ , et de classe $C^{r}$ .

On appelle points critiques les points en lesquels l'application différentielle de f est non surjective, et valeurs critiques les images des points critiques. Les valeurs non critiques sont dites régulières (qu'elles soient des valeurs effectivement prises par f ou non).

Avec ces notations, le théorème de Sard s'énonce comme suit.

Théorème de Sard — Si $r>\max(0,n-m)$ , alors l'ensemble des valeurs critiques est négligeable pour la mesure de Lebesgue.

En revanche, l'ensemble des points critiques peut être très important, par exemple si $n<m$ , tous les points sont critiques, mais l'ensemble image de f sera quand même de mesure nulle.

Il résulte notamment du théorème que l'ensemble des valeurs régulières est dense dans $\mathbb {R} ^{m}$ , un fait déjà prouvé par A. Brown en 1935[1], d'où le nom de théorème de densité de Sard (ou de Sard-Brown) parfois donné au théorème[2].

Le cas m = 1 a été prouvé par Anthony Morse (en) en 1939[3], et le cas général par Arthur Sard en 1942[4]. Une version pour les espaces de Banach de dimension infinie a été prouvée par Stephen Smale[5].

Notes

(en) A. Brown, Functional dependence, Trans. Amer. Math. Soc. 38 (1935), 379-394.
« The theorem of Sard and Brown » chez Milnor, « Sard's density theorem » pour Abraham-Robbin.
(en) A. P. Morse, The behavior of a function on its critical set, Ann. Math. 40 (1939), p. 62-70.
(en) A. Sard, The measure of the critical values of differentiable maps, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), p. 883-890.
(en) S. Smale, An infinite dimensional version of Sard's theorem, Amer. J. Math. 87 (1965), p. 861-866.

Références

(en) John Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint [détail des éditions]
(en) Ralph Abraham et Joel Robbin (de), Transversal Mappings and Flows [détail des éditions]

Article connexe

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[1] (en) A. Brown, Functional dependence, Trans. Amer. Math. Soc. 38 (1935), 379-394.

[2] « The theorem of Sard and Brown » chez Milnor, « Sard's density theorem » pour Abraham-Robbin.

[3] (en) A. P. Morse, The behavior of a function on its critical set, Ann. Math. 40 (1939), p. 62-70.

[4] (en) A. Sard, The measure of the critical values of differentiable maps, Bull. Amer. Math. Soc. 48 (1942), p. 883-890.

[5] (en) S. Smale, An infinite dimensional version of Sard's theorem, Amer. J. Math. 87 (1965), p. 861-866.