Théorème de la médiane

En géométrie euclidienne, le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, désigne l'une des trois identités suivantes[1], sur des distances et des produits scalaires, dans un triangle ABC de médiane AI et de hauteur AH :

Premier théorème de la médiane ou théorème d'Apollonius

Théorème d'Apollonius  Soient (ABC) un triangle quelconque et AI la médiane issue de A. On a alors la relation suivante : ou encore :

Ce théorème est une reformulation de l'identité du parallélogramme.

Démonstration par le produit scalaire

Cette propriété est un cas simple de la réduction de la fonction scalaire de Leibniz : il suffit de faire intervenir le point I dans les deux vecteurs et , par la relation de Chasles : On développe : Le point I est milieu de [B, C], donc et sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s'éliminent et IC2 = IB2 donc

Démonstration n'utilisant que les théorèmes sur les distances

Une autre méthode, probablement celle d'Apollonius[réf. nécessaire] (donc non vectorielle), est la suivante.

Soit H le pied de la hauteur issue de A. Les trois triangles AHB, AHC et AHI sont rectangles en H ; en leur appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :

On en déduit :

On exprime HB et HC en fonction de HI et BI. Quitte à intervertir B et C si nécessaire, on peut toujours supposer que B et H sont du même côté de I. Alors,

On peut donc transformer, dans l'expression ci-dessus de , la sous-expression

En remplaçant, on obtient :

Généralisation à toute cévienne

La démonstration ci-dessus par le produit scalaire se généralise, ce qui permet de démontrer :

Soient (ABC) un triangle, J un point de ]B, C] et k = JC / JB. Alors :

Deuxième théorème de la médiane

Deuxième théorème de la médiane  Soient (ABC) un triangle et I le milieu du segment [B, C]. Alors

La démonstration utilise la même décomposition des vecteurs et que ci-dessus :

Théorème de la médiane pour un triangle rectangle

Il existe un cas particulier relatif au triangle rectangle.

Théorème de la médiane[2]Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Ce théorème possède une réciproque.

Réciproque du théorème de la médiane[2]Si dans un triangle, la longueur de la médiane issue d'un sommet vaut la moitié de la longueur du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet.

Troisième théorème de la médiane

Troisième théorème de la médiane   Soient (ABC) un triangle et I le milieu du segment [B, C]. On note H le projeté orthogonal de A sur (BC). Alors

Plus précisément : BC et IH désignent des mesures algébriques par rapport à un même vecteur directeur unitaire de la droite (BC). Il suffit d'utiliser le produit scalaire et les identités remarquables : La projection de sur (BC) est d'où

Notes et références

  1. Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie : Préparation au CAPES et à l'agrégation, Publibook, (ISBN 978-2-74834139-3, lire en ligne), p. 185.
  2. COJEREM, Géométrie en situations : 1re/4e notions pour l'élève, De Boeck, (ISBN 978-2-80412230-0, lire en ligne), p. 191-192.

Voir aussi

Théorème de Stewart

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