Théorème de récurrence de Poincaré

Le théorème de récurrence de Poincaré dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.

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Contexte

Système dynamique

Soit un système dynamique mesuré, c’est-à-dire un triplet  :

  • est un espace mesurable, qui représente l'espace des phases du système.
  • est une mesure finie sur ,
  • est une fonction mesurable préservant la mesure , c’est-à-dire telle que :
.

Récurrence d'un point

Soit un sous-ensemble mesurable. Un point est dit récurrent par rapport à si

pour une infinité d'entiers .

Autrement dit : est récurrent par rapport à si pour tout entier naturel , il existe un entier tel que , c'est-à-dire si .

Théorème de récurrence de Poincaré

Soit un sous-ensemble mesurable pour la mesure . Alors, presque tous[1] les points de sont récurrents par rapport à [2],[3].

Histoire

Le théorème a été publié par Poincaré en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique[5]. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite. L'histoire de ce mémoire est célèbre[6].

Notes et références

  1. En théorie de la mesure, on dit qu'une propriété P est vraie pour « presque tous les points » (d'un ensemble mesurable) si l'ensemble des x pour lesquels P(x) est fausse est de mesure nulle.
  2. Yves Coudène, Théorie ergodique et systèmes dynamiques, EDP Sciences (lire en ligne), p. 11-12.
  3. Luís Barreira et Claudia Valls, Théorie des systèmes dynamiques : une introduction, EDP Sciences (lire en ligne), p. 183-184.
  4. Si A est de mesure nulle, il peut même arriver qu'aucun point de A ne soit récurrent (par rapport à A), ce qui ne contredit pas le théorème, mais ne correspond pas à ce à quoi on s'attendrait intuitivement.
  5. Henri Poincaré, « Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique », Acta Mathematica, vol. 13, , p. 1-270
  6. Lire par exemple (en) June Barrow-Green, Poincaré and the Three Body Problem, AMS & LMS, coll. « History of Mathematics » (no 11), (lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

François Béguin, « Le théorème de récurrence de Poincaré », sur Images des maths,

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