Théorème de représentation de Skorokhod

En théorie des probabilités, le théorème de représentation de Skorokhod montre qu'une suite de variables aléatoires convergeant en loi peut toujours, en un certain sens, être représentée par une suite de variables aléatoires convergeant presque sûrement. Ce théorème porte le nom du mathématicien ukrainien A.V. Skorokhod.

Énoncé

Illustration du théorème de représentation de Skorokhod

Soit une suite de variables aléatoires à valeurs dans un espace topologique de Lusin. Supposons que converge en loi vers une variable aléatoire à valeurs dans quand . Alors il existe un espace probabilisé et des variables aléatoires , définies sur cet espace probabilisé telles que :

  • pour chaque entier , et ont même loi ;
  • les variables aléatoires et ont même loi ;
  • converge presque sûrement vers .

Démonstration dans le cas réel

Dans cette section, on suppose que est la droite réelle. On note la fonction de répartition de , et on note la fonction de répartition de , et on considère les réciproques généralisées de et , définies, pour dans , par

De plus, on pose

L'idée est que la convergence de vers entraîne la convergence des réciproques généralisées correspondantes :

Lemme   est au plus dénombrable.

Lemme  Pour

On conclut en remarquant, à l'aide du théorème de la réciproque, que et ont même loi, mais aussi que et ont même loi.

Voir aussi

Références

  • (en) L. C. G. Rogers (en) et David Williams (en), Diffusions, Markov Processes, and Martingales, vol. 1 : Foundations, Cambridge, CUP, coll. « Cambridge Mathematical Library », , 2e éd., 406 p. (ISBN 0521775949 et 978-0521775946), chap. 6 (« Probability measures on Lusin spaces, section 86 : The Skorokhod representation of Cb(S) convergence on Pr(S) »), p. 215-216.
  • Patrick Billingsley (de), Convergence of Probability Measures, New York, John Wiley & Sons, Inc., (ISBN 0-471-19745-9), p. 70.
  • Portail des probabilités et de la statistique


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