Théorème des nombres premiers

En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896, est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers.

Une illustration du théorème des nombres premiers : en rouge, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x ; en vert, une approximation utilisant ; en bleu, une approximation utilisant l'intégrale logarithmique .

Énoncé

Théorème  Pour un réel x, le nombre π(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque x tend vers +∞, au quotient de x par son logarithme népérien. Soit

c'est-à-dire

Énoncés équivalents

Le théorème des nombres premiers équivaut à[1] lorsque donc au comportement asymptotique suivant[1],[2],[3] pour le n-ième nombre premier  :

.

Il équivaut aussi[4] à

et à

,

puisque chacune des deux fonctions de Tchebychev et , où désigne l'ensemble des nombres premiers, est asymptotiquement équivalente à lorsque [5].

Le théorème des nombres premiers est également équivalent, en un certain sens, à l’assertion selon laquelle la fonction zêta de Riemann ne s’annule pas sur l’abscisse de partie réelle 1[6] :

.

Approximations asymptotiques

Un approximant de π(x) nettement meilleur que x/ln(x)[7] est la fonction logarithme intégral li(x) ou sa variante, la fonction d'écart logarithmique intégrale Li(x)[8] :

Voir les sections Histoire et Exemples d'estimations numériques ci-dessous pour des estimations de l'erreur de ces approximations.

Histoire

Le théorème des nombres premiers a été conjecturé dans la marge d'une table de logarithmes par Gauss en 1792 ou 1793 alors qu'il avait seulement 15 ou 16 ans (selon ses propres affirmations ultérieures[9]) et par Adrien-Marie Legendre (ébauche en l'An VI du calendrier républicain, soit 1797-1798, conjecture précise en 1808).

Le Russe Pafnouti Tchebychev a établi en 1851 que si x est assez grand, π(x) est compris entre 0,92129x/ln(x) et 1,10556x/ln(x)[10],[11].

Le théorème a finalement été démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896 à l'aide de méthodes d'analyse complexe, utilisant en particulier la fonction ζ de Riemann.

En 1899, La Vallée Poussin a affiné son résultat en montrant que (avec la notation O de Landau)

pour une certaine constante V. Landau (en 1909) puis bien d'autres ont travaillé à réduire la taille admissible de cette constante V , avec une méthode dans laquelle V mesure une propriété extrémale d'une certaine classe de polynômes trigonométriques[12],[13]. On sait que V = 34,5036 convient[14]. Le problème de la détermination avec cette méthode de la valeur V la plus petite possible est connu sous le nom de « Problème extrémal de Landau ». C'est un sujet de recherche intéressant en soi, indépendamment de son application à l'estimation de La Vallée Poussin. Laquelle application est devenue d'ailleurs purement anecdotique depuis qu'on dispose de l'estimation de Vinogradov-Korobov-Richert (voir juste ci-dessous) qui est bien meilleure, et qui implique en particulier qu'on peut remplacer V par un nombre aussi petit qu'on veut dans celle de La Vallée Poussin.

Contrairement à ce que peut laisser penser l'expérimentation numérique, li(x) n'est pas toujours supérieur à π(x). Le mathématicien anglais John Littlewood a démontré, dès 1914, qu'il y a des x pour lesquels cette inégalité est inversée[15],[16].

À cause de la relation entre la fonction ζ et la fonction π, l'hypothèse de Riemann a une importance considérable en théorie des nombres : si elle était démontrée, cela produirait de loin une bien meilleure estimation de l'erreur intervenant dans le théorème des nombres premiers.

Helge von Koch en 1901 a montré[17] plus précisément :

L'hypothèse de Riemann implique l'estimation

(Cette dernière estimation est en fait équivalente à l'hypothèse de Riemann). On est encore loin d'une évaluation si précise. En revanche, on sait que toute amélioration de la région sans zéro de la fonction ζ améliore de facto le terme d'erreur du théorème des nombres premiers. La meilleure région sans zéro actuellement connue a été obtenue en 1958 par Korobov et Vinogradov.

[Cette région était un peu trop « optimiste » et n'a jamais été rigoureusement établie, ni par Vinogradov, ni par Korobov, ni par personne d'autre. Elle a été finalement remplacée par une région plus petite (mais établie par une preuve) par Hans-Egon Richert (en) en 1967].

La région de Richert implique le résultat suivant :

c > 0 est une constante absolue.

En ce qui concerne des majorations explicites, mentionnons les travaux de Rosser et Schoenfeld (en) (1962, 1975, 1976), puis ceux de Dusart (1998). À l'aide d'ordinateurs de plus en plus puissants, ces chercheurs ont pu déterminer de plus en plus de zéros non triviaux de la fonction ζ sur la droite critique. Cette meilleure connaissance implique de bonnes estimations des fonctions usuelles de nombres premiers, avec ou sans l'hypothèse de Riemann. Ainsi Schoenfeld[18] a-t-il pu établir :

si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors

alors que, sans condition, Dusart a démontré que[19]

En ce qui concerne les sommes des puissances des nombres premiers, une simple sommation d'Abel livre, à partir du théorème des nombres premiers,

.

Le cas α = 0 de cette équivalence est bien entendu le théorème des nombres premiers ; le cas α = 1 a été traité par Edmund Landau[20] en 1909. Le cas α = –1, pour lequel cette équivalence ne s'applique pas, est donné par le deuxième théorème de Mertens : .

Ébauche de la preuve

On commence par écrire l'égalité entre le produit d'Euler et la factorisation de Weierstrass de la fonction zêta :

avec s de partie réelle strictement supérieure à 1, Z l'ensemble des zéros (triviaux et non triviaux) de zêta et a, b des constantes. On prend ensuite la dérivée logarithmique :

Grâce à la série entière complexe pour |z| < 1, il vient . On voit également que , ce qui donne

pour Re(s) > 1. On veut maintenant intégrer cette égalité contre la fonction xs / s (avec x constante fixée). Le contour d'intégration est un rectangle de côté droit {Re(s) = σ} avec σ > 1 et qui s'étend à l'infini verticalement et à gauche. Après des calculs faisant appel au théorème des résidus, on obtient la célèbre formule explicite de Riemann (en), pour x > 0 non puissance d'un nombre premier :

avec cette fois ρ balayant seulement les zéros non triviaux de zêta (les triviaux ont été regroupés dans le dernier terme). À gauche on reconnaît la fonction de Tchebychev ψ(x), asymptotiquement équivalente à π(x)ln(x). Le théorème des nombres premiers est par conséquent presque démontré, puisqu'à droite on voit le terme x attendu. Le dernier point à montrer est que les autres termes de droite sont négligeables devant x, autrement dit qu'il n'y a pas de zéro ρ dont la partie réelle est 1. Ce point a été prouvé par Hadamard et La Vallée Poussin.

Ce qu'il advint de la « profondeur »

Il est convenu de distinguer plusieurs types de démonstrations mathématiques, en fonction du degré de sophistication des théories mathématiques auxquelles on fait appel ; le théorème des nombres premiers fournit un prototype pour ce genre de considérations.

On a longtemps cru, au début du XXe siècle, et notamment Godfrey Hardy, que toute démonstration du théorème des nombres premiers devait forcément faire appel à des théorèmes d'analyse complexe ; ce qui par ailleurs pouvait paraître frustrant pour un énoncé semblant porter essentiellement sur les nombres entiers (quoique nécessitant les nombres rationnels, voire les nombres réels pour pouvoir être énoncé). C'était donc un défi pour les mathématiciens d'essayer de trouver une démonstration élémentaire (en) de ce théorème  élémentaire ne voulant pas dire simple, ni peu sophistiquée, mais seulement faisant le moins possible appel à des méthodes externes, à l'arithmétique dans notre cas  ou bien de comprendre précisément pourquoi certains énoncés ne sont accessibles qu'avec des méthodes plus évoluées que ce à quoi on pouvait s'attendre. Hardy parlait donc de « profondeur » des théorèmes et pensait que le théorème des nombres premiers faisait partie des énoncés dont la « profondeur » ne les rendait accessibles que par le biais de l'analyse complexe.

Une première brèche dans cette conception fut la découverte d'une démonstration basée seulement sur le théorème taubérien de Wiener ; mais il n'était pas clair qu'on ne puisse pas attribuer à ce théorème une « profondeur » équivalente aux théorèmes issus de l'analyse complexe.

Le débat fut tranché en 1949, quand Paul Erdős[21] et Atle Selberg[22], donnèrent chacun une démonstration indéniablement élémentaire du théorème des nombres premiers[23],[24]. Quelle que soit la valeur du concept de « profondeur », celle du théorème des nombres premiers n'exigeait pas d'analyse complexe. De manière plus générale, la découverte de ces démonstrations élémentaires provoqua un regain d'intérêt pour les méthodes de crible, qui trouvèrent ainsi toute leur place dans l'arithmétique.

En dépit du caractère « élémentaire » de cette démonstration, elle restait complexe et souvent jugée artificielle ; en 1980, Donald J. Newman (en) découvrit une élégante application d'un théorème taubérien permettant (après de nouvelles simplifications) de donner une démonstration très courte n'utilisant guère plus que le théorème des résidus[25] ; Don Zagier en a fourni une présentation de deux pages en 1997, pour le centenaire du théorème[26],[27].

Approximations du n-ième nombre premier

Le théorème des nombres premiers équivaut au fait que le n-ième nombre premier, noté pn, vérifie :

.

Des résultats de La Vallée Poussin de 1899, on déduit des développements asymptotiques bien plus précis que cet équivalent. Par exemple (avec la notation o de Landau) :

qui permet de démontrer[28]

Le théorème de Rosser montre que pn est supérieur à n ln n. On a pu améliorer cette minoration[29], et obtenir un encadrement[30] : et même[29],

Exemples d'estimations numériques

Voici un tableau qui montre le comportement comparé de π(x) et ses approximations, x/ln(x) et li(x), et les écarts absolus (en différence) et relatifs (en proportion) entre ces trois fonctions :

x[T 1] π(x) π(x) – x/ln(x)[T 2] π(x)/(x/ln(x))[T 3] li(x) – π(x)[T 4] li(x)/π(x)[T 5] x/π(x)[T 6] ln(x)
100=10, car 1 n'est pas premiernon défini, car ln(1) = 0non défini car ln(1) = 0– l'infininon défininon défini0
2 × 100=21 (le premier « 2 »)–20,3472,0000,693
4 × 100=42 (les premiers « 2 » et « 3 »)–10,69311,500 000 000 0002,0001,386
1014 (« 2 », « 3 », « 5 » et « 7 »)–00,92121,500 000 000 0002,5002,303
1022531,15151,200 000 000 0004,0004,605
103168231,161101,059 523 809 5245,9526,908
1041 2291431,132171,013 832 384 0528,1379,210
1059 5929061,104381,003 961 634 69610,43011,513
10678 4986 1161,0841301,001 656 093 14912,74013,816
107664 57944 1591,0713391,000 510 097 37015,05016,118
1085 761 455332 7741,0617541,000 130 869 72017,36018,421
10950 847 5342 592 5921,0541 7011,000 033 452 95019,67020,723
1010455 052 51120 758 0291,0483 1041,000 006 821 19121,98023,026
10114 118 054 813169 923 1591,04311 5881,000 002 813 95024,28025,328
101237 607 912 0181 416 705 1931,03938 2631,000 001 017 41926,59027,631
1013346 065 536 83911 992 858 4521,034108 9711,000 000 314 88528,90029,934
10143 204 941 750 802102 838 308 6361,033314 8901,000 000 098 25131,20032,236
101529 844 570 422 669891 604 962 4521,0311 052 6191,000 000 035 27033,51034,539
1016279 238 341 033 9257 804 289 844 3921,0293 214 6321,000 000 011 51235,81036,841
4 × 10161 075 292 778 753 15028 929 900 579 9491,0285 538 8611,000 000 005 15137,20038,228
10172 623 557 157 654 23368 883 734 693 2811,0277 956 5891,000 000 003 03338,11639,144
101824 739 954 287 740 860612 483 070 893 5361,02521 949 5551,000 000 000 88740,42041,447
1019234 057 667 276 344 6075 481 624 169 369 9601,02499 877 7751,000 000 000 42742,72543,749
10202 220 819 602 560 918 84049 347 193 044 659 7011,023222 744 6441,000 000 000 10045,02846,052
102121 127 269 486 018 731 928446 579 871 578 168 7071,022597 394 2541,000 000 000 02847,33248,354
1022201 467 286 689 315 906 2904 060 704 006 019 620 9941,0211 932 355 2081,000 000 000 01049,63650,657
10231 925 320 391 606 803 968 92337 083 513 766 578 631 3091,0207 250 186 2161,000 000 000 00451,93952,959
OEIS suite A006880 de l'OEIS suite A057835 de l'OEIS suite A057752 de l'OEIS

Notes (les indices « i » dans ces notes correspondent aux renvois « Ti » dans le tableau) :

  1. Dans le théorème des nombres premiers, « x » peut représenter un nombre réel positif ; cependant dans ce tableau, les exemples ont été choisis parmi les entiers pour simplifier l'illustration. La progression des exemples a été choisie exponentielle (à l'exception des 2e, 3e et 20e lignes) pour être adaptée à l'évolution logarithmique des nombres premiers.
  2. Le résultat de « π(x) - x/ln(x) » est arrondi à sa partie entière ; le signe « – » à la 2e ligne indique que le résultat est légèrement négatif (environ –0,3) avant arrondi à 0.
  3. Le calcul à 3 décimales « π(x)/(x/ln(x)) » a été réalisé avec une valeur décimale approchée de « x/ln(x) » non présentée dans ce tableau et non pas à l'aide de la seconde colonne du tableau donnant la seule partie entière de « π(x) – x/ln(x) » donc de « x/ln(x) ».
  4. Le résultat « li(x) – π(x) » est arrondi à sa partie entière.
  5. Les valeurs approchées de « li(x)/π(x) » sont arrondies (et non tronquées) à la 12e décimale ; mais le calcul est fait avec la valeur de « li(x) » arrondie à sa partie entière, car issu de la colonne précédente. Pour un calcul plus précis, il faut utiliser des tables de « li(x) », sous forme imprimée telle que celle-ci, ou bien calculée en ligne telle que celle-là.
  6. Ce rapport « x/π(x) » mesure la dilution croissante des nombres premiers inférieurs à un nombre entier (ou réel) « x », lorsque ce nombre augmente.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime number theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. Voir (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (ISBN 978-0-38790163-3, lire en ligne), p. 80, th. 4.5, ou cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres » sur Wikiversité..
  2. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombresAn Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, , p. 11.
  3. Gérald Tenenbaum et Michel Mendès France, Les Nombres premiers, Que sais-je ? 571, Paris, PUF, 1997, p. 11, énoncent la variante .
  4. Apostol 1976, p. 79, th. 4.4.
  5. Hardy et Wright 2007, p. 444, th. 420.
  6. (en) A. E. Ingham, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, (lire en ligne), p. 36-37.
  7. D'après l'estimation de 1899 de La Vallée Poussin, le développement asymptotique de li(x) vaut aussi pour π(x), à tout ordre. Or x/lnx n'en est que le premier terme.
  8. Dans la littérature scientifique, notamment anglo-saxonne, la fonction logarithme intégral li(x) est très souvent notée Li(x) avec une majuscule (Bernhard Riemann, Helge Von Koch, Hans Carl Friedrich von Mangoldt Edmund Landau, etc), alors que cette dernière notation désigne aussi la fonction d'écart logarithmique intégrale. Avec la notation adoptée dans cet article on a Li(2) = 0 alors que li(2) = 1,045…
  9. (de) Lettre de Gauss de 1849 à Encke : « Die gütige Mittheilung Ihrer Bemerkungen über die Frequenz der Primzahlen ist mir in mehr als einer Beziehung interessant gewesen. Sie haben mir meine eigenen Beschäftigungen mit demselben Gegenstande in Erinnerung gebracht, deren erste Anfänge in eine sehr entfernte Zeit fallen, ins Jahr 1792 oder 1793, wo ich mir die Lambertschen Supplemente zu den Logarithmentafeln angeschafft hatte. »
  10. Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Third edition, Chelsea 1974, p. 11, 19 et 996. Voir aussi p. 95 pour une variation de la méthode permettant de remplacer la constante 1,10556 par 1,08029.
  11. Gilles Lachaud, « L'hypothèse de Riemann – Le Graal des mathématiciens », Les Dossiers de La Recherche, no 20, , p. 26-35 (lire en ligne), p. 30.
  12. (en) Szilárd Révész, « On some extremal problems of Landau », Serdica Math. J., vol. 33, , p. 125-162 (lire en ligne).
  13. (en) Szilárd Gy. Révész, « The Prime Number Theorem and Landau’s Extremal Problems » (Harmonic Analysis Seminar at the Rényi Institute Lecture Notes).
  14. (en) V. V. Arestov et V. P. Kondrat'ev, « Certain extremal problem for nonnegative trigonometric polynomials », Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, vol. 47, no 1, , p. 10-20 (DOI 10.1007/BF01157278).
  15. Jean-Pierre Kahane, « Le nombre, cet inconnu », Conférence aux Assises de mathématiques, Poitiers, .
  16. Voir l'article « Nombre de Skewes ».
  17. N.F. Helge von Koch. Sur la distribution des nombres premiers, Acta Mathematica 24 (1901), 159–182. Lire en ligne: .
  18. (en) Lowell Schoenfeld, « Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II », Math. Comp., vol. 30, , p. 337-360 (lire en ligne).
  19. Pierre Dusart, Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers, Thèse de doctorat de l'Université de Limoges, soutenue le 26 mai 1998, Théorème 1.12, p. 38.
  20. (de) E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen, (lire en ligne), p. 226.
  21. (en) P. Erdős, « On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem », PNAS, vol. 35, , p. 374-384 (lire en ligne).
  22. (en) A. Selberg, « An elementary proof of the prime-number theorem », Ann. Math., vol. 50, no 2, , p. 305-313 (JSTOR 1969455).
  23. (en) Paul Pollack, Not Always Buried Deep: A Second Course in Elementary Number Theory, AMS, (lire en ligne), chap. 7 (« An Elementary Proof of the Prime Number Theorem »), p. 213-246.
  24. (en) Dorian M. Goldfeld, « The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective », .
  25. Michèle Audin, « Un cours sur les fonctions spéciales », sur IRMA, , p. 64-69.
  26. (en) Don Zagier, « Newman's short proof of the prime number theorem », Amer. Math. Month., vol. 104, no 8, , p. 705-708 (lire en ligne).
  27. Patrick Bourdon, « Questions de nombres - Comportement asymptotique des nombres premiers », .
  28. La démonstration d'Ernesto Cesàro, « Sur une formule empirique de M. Pervouchine », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 119, , p. 848-849 (lire en ligne), repose sur un développement qu'il énonce comme démontré en 1893 mais qui ne le sera que par les travaux ultérieurs de La Vallée Poussin. Cf. (en) Juan Arias de Reyna et Jérémy Toulisse, « The n-th prime asymptotically », J. Théor. Nombres Bordeaux 25 (2013), no. 3, 521-555, arXiv:1203.5413.
  29. (en) Pierre Dusart, « The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k – 1) for k ≥ 2 », Math. Comp., vol. 68, , p. 411-415 (lire en ligne).
  30. (en) Eric Bach (en) et Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, vol. 1, MIT Press, (ISBN 0-262-02405-5, lire en ligne), p. 233.

Articles connexes

  • Arithmétique et théorie des nombres
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