Théorèmes d'isomorphisme

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».

Premier théorème d'isomorphisme

Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes , on peut rendre injectif en quotientant par son noyau.

Intuitivement, quotienter un groupe par un sous-groupe revient à « annuler » les éléments de . En quotientant par le noyau de , on fait donc en sorte que ne soit vrai que pour , ce qui est équivalent à l'injectivité de .

Avant de parler de morphisme de groupes , il faut, pour pouvoir parler de groupe quotient , s'assurer que est un sous-groupe normal.

Proposition   Soient et deux groupes et soit un morphisme de groupes. Alors est un sous-groupe normal de .

Le fait que soit un sous-groupe normal de permet de définir sur le groupe quotient une loi de groupe compatible avec celle de . Grâce à cette compatibilité, le morphisme de groupes induit un isomorphisme .

On peut maintenant énoncer le théorème.

Premier théorème d'isomorphisme   Soient et deux groupes et un morphisme de groupes. Alors induit un isomorphisme de vers .

Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.

Factorisation d'un morphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme   Soient un groupe, un sous-groupe normal de et un sous-groupe de . Alors est un sous-groupe normal de , et on a l'isomorphisme suivant :

La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de contient (au lieu de le supposer égal à tout entier).

Troisième théorème d'isomorphisme

Troisième théorème d'isomorphisme  Soient un groupe et et deux sous-groupes normaux de tels que soit inclus dans . Alors est un sous-groupe normal de et on a l'isomorphisme suivant :

Voir aussi

Référence

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4

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