Théorie des possibilités

En mathématiques et en informatique, la théorie des possibilités est une alternative à la théorie des probabilités pour représenter l'incertitude. Lotfi Zadeh a d'abord introduit la théorie des possibilités en 1978 comme une extension de sa théorie des ensembles flous et la logique floue[1]. Didier Dubois et Henri Prade ont ensuite contribué à son développement[2],[3].

Formalisation de la possibilité

Étant donné un univers Ω que l'on suppose fini pour simplifier la présentation, une mesure ou distribution de possibilité est une fonction de dans [0, 1], c'est-à-dire à chaque sous-ensemble d'événements U, on associe pos(U) qui mesure la possibilité de U. Si pos(U) = 0 alors U est impossible, si pos(U) = 1 alors U est normal, sans surprise. La fonction satisfait trois axiomes :

  1. pour tout sous-ensemble et

Si l'univers Ω est infini, l'axiome 3 s'écrit :

  • Pour tout ensemble d'indices , si les sous-ensembles sont deux-à-deux disjoints, alors

Nécessité

La nécessité est le dual de la possibilité dans le sens suivant. On définit une fonction nec qui mesure la nécessité d'un sous-ensemble d'événements par : .

Lien avec la théorie des probabilités

La théorie des possibilités généralise la théorie des probabilités dans le sens où se donner une fonction de possibilité revient à se donner une borne supérieure sur les probabilités :


Notes et références

  1. L. A. Zadeh, « Fuzzy Sets As a Basis for a Theory of Possibility », Fuzzy Sets Syst., vol. 100, , p. 9–34 (ISSN 0165-0114, lire en ligne, consulté le 3 janvier 2019)
  2. (en) Henri Prade et Didier Dubois, « Possibility Theory », dans Computational Complexity, Springer, New York, NY, (DOI 10.1007/978-1-4614-1800-9_139, lire en ligne), p. 2240–2252
  3. (en) Henri Prade et Didier Dubois, « Possibility Theory: Qualitative and Quantitative Aspects », dans Quantified Representation of Uncertainty and Imprecision, Springer, Dordrecht, coll. « Handbook of Defeasible Reasoning and Uncertainty Management Systems », (ISBN 9789048150380, DOI 10.1007/978-94-017-1735-9_6, lire en ligne), p. 169–226
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