Topologie finale

En mathématiques et plus précisément en topologie, la topologie finale, sur un ensemble d'arrivée commun à une famille d'applications définies chacune sur un espace topologique, est la topologie la plus fine pour laquelle toutes ces applications sont continues. La notion duale est celle de topologie initiale.

Définition

Soient X un ensemble, (Yi)iI une famille d'espaces topologiques et pour chaque indice iI, une application fi : YiX.

La topologie finale sur X associée à la famille (fi)iI est la plus fine des topologies sur X pour lesquelles chaque fi est continue.

Autrement dit : une partie U de X est un ouvert de cette topologie si et seulement si pour tout iI, fi−1(U) est un ouvert de Yi.

Exemples

Propriétés

Propriété caractéristique de la topologie finale.

Une partie F de X est un fermé de cette topologie si et seulement si pour tout iI, fi−1(F) est un fermé de Yi.

Cette topologie finale peut être caractérisée par la propriété universelle suivante : une application g de X dans un espace Z est continue si et seulement si pour tout iI, gfi est continue.

Si les images des fi forment un recouvrement de X alors X, muni de la topologie finale, est canoniquement un quotient de la somme topologique ∐iIYi.

Description en termes de catégories

Dans le langage de la théorie des catégories, la construction de la topologie finale peut être décrite comme suit. Soit Y un foncteur, d'une catégorie discrète I dans la catégorie des espaces topologiques Top, c'est-à-dire la donnée, pour chaque objet i de I, d'un espace topologique Yi. Soit Δ le foncteur diagonal (en) de Top dans la catégorie de foncteurs TopI (Δ envoie tout espace X sur le foncteur constant X). La catégorie comma (en) (Y ↓ Δ) est alors la catégorie des cônes (en) sur Y, dont les objets sont les couples (X, f) où f est une famille d'applications continues fi : YiX. Si U désigne le foncteur d'oubli de Top dans Set et Δ' le foncteur diagonal de Set dans SetI, alors la catégorie comma (UY ↓ Δ') est la catégorie de tous les cônes sur UY. La construction de la topologie finale peut alors être décrite comme un foncteur de (UY ↓ Δ') dans (Y ↓ Δ), adjoint à gauche du foncteur d'oubli correspondant.

Références

Article connexe

Objet initial et objet final

  • Portail des mathématiques
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.