Transformation complexe

La transformation complexe est une méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, × et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps, à condition qu'elles soient linéaires. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans des situations compliquées.

Principe

À une grandeur g(t), fonction sinusoïdale du temps d'expression :

,

on fait correspondre un nombre complexe : de module G et d'argument φ. En notant j l'unité imaginaire, la notation exponentielle s'écrit

,

Remarque[réf. nécessaire] : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme :

, avec : ,
Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existence de ω pour les dérivations ou les intégrations.

En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :

Opérations élémentaires

  • Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.
  • Dérivation
On dérive le nombre complexe image :
,
on obtient :
ou encore
  • Intégration
On intègre le nombre complexe image et on obtient :
, ou encore

Représentation complexe des courants et tensions (généralisable)

Dans un circuit en régime permanent sinusoïdal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction g(t) du type :

,

On note un nombre complexe associé à g(t) égal à :

  • est égal à la valeur efficace de g,
  • est égale à la phase totale de g (incluant le ω t).


Le terme est appelée amplitude complexe[1] de s car elle caractérise le signal tandis que le terme ej ω t est commun à tous les signaux du circuit. On remarque que . est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de . Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoïdal. La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'impédance complexe.

Notes et références

  • Portail des mathématiques
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.