Transformation géométrique

On appelle transformation géométrique toute bijection d'une partie d'un ensemble géométrique dans lui-même.

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On peut tenter une ou des classifications de ces transformations.

D'abord selon la dimension de l'ensemble géométrique ; on distinguera donc principalement les transformations planes et les transformations dans l'espace.

Classification selon leurs éléments conservés

On peut aussi classer les transformations d'après leurs éléments conservés :

TransformationÉléments conservésExemples
DéplacementsDistances et angles orientésTranslations et rotations
IsométriesDistances et anglesDéplacements, réflexions et symétries
SimilitudesRapports de distancesIsométries et homothéties
Transformations affinesParallélismeSimilitudes et affinités
Transformations homographiquesDroitesInversions et homologies

Chacune de ces classes contient la précédente.

  • les inversions, conservant l'ensemble des droites et des cercles dans le cas plan, ou transformation de Möbius, conservant l'ensemble des plans et des sphères, en dimension 3.

D'autres transformations sont aussi possibles :

  • les transformations bidifférentiables ou difféomorphismes sont les transformations qui sont affines au premier ordre ; elles contiennent les précédentes comme cas particuliers, mais aussi :
  • les transformations conformes ou anticonformes, conservant les angles, qui sont, au premier ordre, des similitudes
  • les transformations équivalentes ou équiaréales (en), conservant les aires dans le cas plan, ou les volumes dans le cas 3D, qui sont, au premier ordre, des transformations affines de déterminant 1

Et enfin, englobant les précédentes :

  • les transformations bicontinues ou homéomorphismes, conservant les voisinages des points.

On crée alors des groupes et des sous-groupes de transformations.

L'étude de la géométrie est en grande partie l'étude de ces transformations.

Classification non exhaustive des transformations selon leur degré de complexité

  • Les réflexions selon une droite (dans le plan ou l'espace) ou selon un plan (dans l'espace)
  • les symétries centrales
  • les translations
  • les rotations de centre C (dans le plan) ou d'axe (D) dans l'espace
  • les homothéties
  • les affinités

Les réflexions, symétries, translations et rotations sont des exemples d'isométries du plan ou de l'espace. Les deux dernières conservent les angles orientés et sont alors appelées des déplacements. L'ensemble des déplacements forme un groupe.

Les homothéties et les isométries sont des exemples de similitudes du plan ou de l'espace. On démontre même que ces transformations engendrent l'ensemble des similitudes. Les similitudes conservant les angles orientés forment un groupe appelé le groupe des similitudes directes.

Les affinités et les similitudes sont des exemples de transformations affines du plan ou de l'espace. On démontre même que ces transformations engendrent l'ensemble des transformations affines.

Il existe aussi des transformations qui ne sont pas définies dans le plan ou l'espace tout entier. Parmi celles-ci on peut citer les inversions, les homologies qui sont des transformations homographiques.

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