Transversalité

En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangence.

Ne doit pas être confondu avec Transversalité (sciences humaines et sociales).

Deux sous-espaces vectoriels , d'un espace vectoriel sont dits transverses quand . Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

.

Deux sous-espaces affines , d'un espace affine sont dites transverses si leurs directions sont transverses, c'est-à-dire si

.

Deux sous-variétés et d'une variété différentielle sont dits transverses lorsque, pour tout point de , les espaces tangents et sont transverses dans l'espace tangent , c'est-à-dire si

Dans la suite, désignent les dimensions respectives de .

Remarques :

  • La définition reste valable pour les variétés banachiques.
  • Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
  • Si , alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée seulement si les sous-variétés et sont disjointes.

Théorème  Une intersection transverse et non vide est une sous-variété différentielle de dimension .

On a donc dans ce cas les relations

Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).

Nombre d'intersection

Généricité

Théorème  Si et sont deux sous-variétés de classe () de dimensions respectives et , alors il existe un -difféomorphisme de , aussi proche de l'identité que souhaité en topologie , tel que intersecte transversalement .

En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.

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