Triangle de Sierpiński

Le triangle de Sierpiński, aussi appelé par Mandelbrot le joint de culasse de Sierpiński[1], est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński.

Triangle de Sierpiński.

Il peut s'obtenir à partir d'un triangle « plein » , par une infinité de répétitions consistant à diviser par deux la taille du triangle puis à les accoler en trois exemplaires par leurs sommets pour former un nouveau triangle. À chaque répétition le triangle est donc de même taille, mais « de moins en moins plein ».

Construction

Algorithme 1

Un algorithme pour obtenir des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński peut s'écrire de la manière récurrente suivante :

  1. Commencer à partir d'un triangle quelconque du plan. Le triangle canonique de Sierpiński se construit à partir d'un triangle équilatéral ayant une base parallèle à l'axe des abscisses.
  2. Tracer les trois segments qui joignent deux à deux les milieux des côtés du triangle, ce qui délimite 4 nouveaux triangles.
  3. Enlever le petit triangle central. Il y a maintenant trois petits triangles qui se touchent deux à deux par un sommet, dont les longueurs des côtés sont la moitié de celles du triangle de départ (obtenue par une homothétie de rapport 1/2), et dont l'aire est divisée par 4.
  4. Recommencer à la deuxième étape avec chacun des petits triangles obtenus.

La fractale s'obtient après un nombre infini d'itérations. À chaque étape, l'aire de l'ensemble diminue, elle est multipliée par 3/4.

Algorithme 2
Triangle de Sierpiński associé à un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5 et créé par un générateur d'IFS.

Le triangle de Sierpiński est l'attracteur du système de fonctions itérées {ha, hb, hc} des trois homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets a, b et c. Au passage, la théorie des IFS garantit a posteriori l'existence du triangle de Sierpinski.

Algorithme 3

On applique le jeu du chaos.

Algorithme 4

Si on le construit à partir d'un triangle de Pascal avec 2n lignes et que l'on colore les nombres pairs en blanc et les nombres impairs en noir, alors le résultat est une approximation du triangle de Sierpiński.

Algorithme 5

Textile cone

On obtient un triangle de Sierpinski en appliquant un automate de Wolfram, la règle 126, inspiré du jeu de la vie de Conway[2]. Cela permet par exemple d'expliquer en partie les motifs du conus textile.

Dimension

Le triangle de Sierpiński a une dimension fractale ou une dimension de Hausdorff égale à log 3/log 2, égal à environ 1,585, ce qui vient du fait qu'il est la réunion de trois copies de lui-même, chacune étant réduite d'un facteur de 1/2.

Illustrations

La Triforce.

Le triangle de Sierpinski est utilisé comme logo ou symbole. Le logo de l'école des Ponts ParisTech représente un triangle de Sierpiński au bout de la deuxième itération.

La Triforce, symbole majeur de la saga vidéoludique The Legend of Zelda, représente quant à elle la première itération du triangle de Sierpiński.

Notes et références

  1. Sierpinski gasket
  2. « récrémaths », sur tangente, tangente

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Sierpiński Sieve », sur MathWorld

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