Tribu produit

Définition

Étant donnés deux espaces mesurables et , la tribu produit, notée , permet de donner une structure d'espace mesurable à l'ensemble produit ; elle est définie de la façon suivante :

  • est la tribu engendrée par les pavés mesurables ou, de manière équivalente, la plus petite tribu contenant les pavés mesurables ;
  • on peut la définir aussi comme la plus petite tribu rendant mesurables les projections et définies par : .

On montre très facilement qu'une application , définie sur un espace mesurable à valeurs dans l'espace produit , est mesurable pour la tribu produit si et seulement si les applications coordonnées sont, chacune, mesurables pour les tribus .

Le lemme de transport permet de montrer que les applications y↦(x,y) (pour x fixé) et x↦(x,y) (pour y fixé) sont aussi mesurables.

Exemple : tribu borélienne produit

Étant donnés deux espaces topologiques et munies de leurs tribus boréliennes respectives et . Il y a alors deux façons naturelles de donner au produit une structure d'espace mesurable :

  1. à partir de la tribu produit
  2. à partir de la tribu borélienne engendrée par la topologie produit , notée .
  • On a toujours : .

En effet, les projections sont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu borélienne ; la tribu produit étant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l'inclusion désirée.

  • Si les espaces topologiques sont à base dénombrable alors .

En effet, soit un ouvert de , alors est une union dénombrable de pavés mesurables de la forme (car ils forment une base dénombrable de la topologie produit) : par conséquent d'où .

Un contre-exemple possible est l'ensemble des fonctions réelles bornées.

Produit de n tribus

Le produit d'un nombre fini, disons , de tribus se définit de façon similaire : il s'agit de la plus petite tribu contenant les pavés mesurables . Les propriétés énoncées pour le produit de deux tribus s'étendent sans difficulté au cas de tribus.

Produit dénombrable de tribus

Si on considère maintenant un produit dénombrable d'espaces mesurés , la tribu produit , définie sur l'ensemble produit , est la tribu engendrée par les ensembles de la forme et où sauf pour un nombre fini d'indices .

Voir aussi

Mesure produit

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