Trigonométrie complexe

Dans le plan des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi :

${\displaystyle \sin z={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}z}}{2{\rm {i}}}}={\frac {\sinh {\rm {i}}z}{\rm {i}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle \cos z={\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}z}}{2}}={\cosh {\rm {i}}z}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}}$

${\displaystyle \tan z={\frac {\sin z}{\cos z}}=-{\rm {i}}{\frac {\sinh {\rm {i}}z}{\cosh {\rm {i}}z}}=-{\rm {i}}\tanh {\rm {i}}z=-{\rm {i}}{\frac {{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}-e^{-{\rm {i}}z}}{{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}z}}}}$

De même que leurs fonctions réciproques :

${\displaystyle \arcsin z=-{\rm {i}}\ln \left({\rm {i}}z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \arccos z=-{\rm {i}}\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}$

${\displaystyle \arctan z={\frac {\rm {i}}{2}}{\Big (}\ln(1-{\rm {i}}z)-\ln(1+{\rm {i}}z){\Big )}}$

Ces fonctions réciproques souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.

Pour tous nombres complexes a et b, on a par exemple :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(a+b)&=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b,\\\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\end{aligned}}}$

Démonstration

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(a+b)&={\frac {{\rm {e}}^{a+b}+{\rm {e}}^{-a-b}}{2}}\\&={\frac {{\rm {e}}^{a}{\rm {e}}^{b}+{\rm {e}}^{-a}{\rm {e}}^{-b}}{2}}\\&={\frac {(\cosh a+\sinh a)(\cosh b+\sinh b)+(\cosh a-\sinh a)(\cosh b-\sinh b)}{2}}\\&=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b,\\\cos(a+b)&=\cosh {\rm {i}}(a+b)\\&=\cosh {\rm {i}}a\cosh {\rm {i}}b+\sinh {\rm {i}}a\sinh {\rm {i}}b\\&=\cos a\cos b+({\rm {i}}\sin a)({\rm {i}}\sin b)\\&=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\end{aligned}}}$

d'où (en remplaçant b par ib) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(a+{\rm {i}}b)&=\cosh a\cos b+{\rm {i}}\sinh a\sin b,\\\cos(a+{\rm {i}}b)&=\cos a\cosh b-{\rm {i}}\sin a\sinh b.\end{aligned}}}$

Pour les autres fonctions trigonométriques, on fait de même. Pour tan, cot, tanh et coth, mieux vaut utiliser leurs définitions ;

${\displaystyle \tan z={\frac {\sin z}{\cos z}},\quad \cot z={\frac {\cos z}{\sin z}},\quad \tanh z={\frac {\sinh z}{\cosh z}},\quad \coth z={\frac {\cosh z}{\sinh z}}.}$

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