Variation totale (mathématiques)

En mathématiques, la variation totale peut désigner plusieurs concepts légèrement différents, liés à la structure (locale ou globale) du codomaine d'une fonction ou d'une mesure. Pour une fonction continue à valeurs réelles f, définie sur un intervalle [a, b] ⊂ ℝ, sa variation totale sur l'intervalle de définition est une mesure de la longueur d'arc de la courbe d'équation xf(x), pour x ∈ [a, b].

Alors que le point vert se déplace sur le graphe de la fonction donnée, la longueur du chemin parcourue par la projection sur l'axe y de ce déplacement, ici montré par un point rouge, représente la variation totale de la fonction.

Note historique

L'idée de variation totale pour les fonctions d'une variable réelle a d'abord été introduite par Camille Jordan[1], afin de prouver un théorème de convergence pour les séries de Fourier de fonctions discontinues périodiques à variation bornée. L'extension du concept aux fonctions de plusieurs variables n'est pas aussi simple.

Définitions

Variation totale pour les fonctions d'une variable réelle

La variation totale d'une fonction d'une variable réelle (ou complexe) f, définie sur un intervalle est donnée par :

où le supremum vaut sur l'ensemble des partitions de l'intervalle donné.

Variation totale pour les fonctions de plusieurs variables réelles

Soit Ω un sous-ensemble ouvert de ℝn. Pour une fonction f dans L1(Ω), la variation totale de f sur Ω est définie par :

est l'ensemble des fonctions à valeurs vectorielles continûment différentiables à support compact contenu dans Ω, et est la norme liée à la borne supérieure essentielle. On remarquera qu'il n'est pas utile ici d'avoir un domaine borné.

Variation totale dans la théorie de la mesure

Définition classique de la variation totale

Considérons une mesure signée μ sur un espace mesurable  : il est alors possible de définir deux fonctions d'ensemble et , respectivement variation supérieure et variation inférieure, telles que :

ainsi

La variation (ou encore variation absolue) de la mesure signée μ est la fonction d'ensemble[2]

et sa variation totale correspond à la valeur de cette mesure sur tout l'ensemble de définition, soit :

Définition moderne de la norme de variation totale

Saks utilise les variations supérieure et inférieure pour prouver le théorème de décomposition de Hahn (en) : selon sa version du théorème, ces variations sont des mesures respectivement positive et négative[3]. Avec des notations modernes, on peut écrire

ce qui assure que et sont toutes deux positives, et ainsi :

La dernière mesure est parfois appelée, par abus de langage, mesure de variation totale.

Norme de variation totale de mesures complexes

Si la mesure μ est à valeurs complexes, les variations supérieure et inférieure ne peuvent pas être définies et la décomposition de Hahn-Jordan ne peut être appliquée qu'aux parties réelle et imaginaire. Cependant, il est possible de définir la variation totale d'une mesure complexe[4]:

La variation d'une mesure à valeurs complexes μ est la fonction d'ensemble

où le supremum est pris pour toutes les partitions π d'un espace mesurable E en un nombre fini de sous-ensembles mesurables disjoints.

En revenant à une variable réelle, on retrouve la définition vue précédemment.

Norme de variation totale de mesures pour des valeurs vectorielles

La variation telle qu'elle sera définie ici est positive[5] et coïncide avec celle où μ est une mesure signée : sa variation totale a alors déjà été définie. On peut l'étendre aux fonctions de valeurs vectorielles :

La définition donnée ici étend celle donnée par Rudin[6], dans le sens où elle ne demande que des partitions finies de l'espace X : cela implique qu'elle peut être utilisée pour les variations totales de mesures de somme finie.

Propriétés

Variation totale de fonctions différentiables

La variation totale d'une fonction différentiable peut être donnée par une intégrale dépendant de la fonction plutôt que la borne supérieure de fonctionnelles comme vu auparavant.

Variation totale d'une fonction d'une variable réelle dérivable

La variation totale d'une fonction dérivable f, définie sur un intervalle réel [a , b], peut être exprimée ainsi si sa dérivée f' est Riemann-intégrable

Variation totale d'une fonction de plusieurs variables réelles différentiable

Soit une fonction f définie et différentiable sur un ensemble ouvert borné , la variation totale de f est alors donnée par

désigne la norme l2.

On dit que f est à variation bornée si sa variation totale est finie.

Variation totale d'une mesure

La variation totale est une norme définie sur l'espace des mesures de variation bornée. Cet espace sur une σ-algèbre d'ensembles est un espace de Banach, appelé l'espace ca, muni de sa norme. Il est contenu dans un espace de Banach plus grand, appelé l'espace ba, constitué de mesures de somme finie (en opposition à somme dénombrable), avec la même norme. La fonction distance associée à la norme permet de donner la variation totale de la distance entre deux mesures μ et ν.

Pour des mesures finies sur ℝ, le lien entre la variation totale d'une mesure μ et celle d'une fonction, comme décrit avant, vient comme suit. Avec μ, on pose une fonction telle que

Alors, la variation totale d'une mesure signée μ est égale à la variation totale de φ. En général, la variation totale d'une mesure signée peut être définie grâce au théorème de décomposition de Jordan avec

pour toute mesure signée μ sur l'espace mesurable .

Applications

La variation totale peut être vue comme une fonctionnelle positive d'une variable réelle (pour le cas à une seule variable) ou sur l'espace des fonctions intégrables (pour le cas à plusieurs variables). Comme fonctionnelle, la variation totale trouvent plusieurs applications en mathématiques et ingénierie, comme le contrôle optimal, l'analyse numérique, ou le calcul variationnel, où la solution d'un problème doit être à variation totale minimale. On pourra citer deux types de problèmes courants :

Articles connexes

Notes et références

  1. (Jordan 1881), selon (Golubov et Vitushkin 2002).
  2. (Saks 1937, p. 10)
  3. (Saks 1937, p. 11)
  4. (Rudin 1966)
  5. (Rudin 1966, p. 139)
  6. (Rudin 1966, p. 138)

Liens externes

Applications

  • Vincent Caselles, Antonin Chambolle et Matteo Novaga, « The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions », Multiscale Modeling and Simulation, SIAM, vol. 6, no 3, (lire en ligne) (application de la variation totale en débruitage pour le traitement de l'image).
  • Leonid I. Rudin, Stanley Osher et Emad Fatemi, « Nonlinear total variation based noise removal algorithms », Physica D: Nonlinear Phenomena, no 60.1, , p. 259-268 (lire en ligne).
  • Peter Blomgren et Tony F. Chan, « Color TV: total variation methods for restoration of vector-valued images », Image Processing, IEEE Transactions, vol. 7, no 3, , p. 304-309 (lire en ligne).
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