Variation totale (mathématiques)
En mathématiques, la variation totale peut désigner plusieurs concepts légèrement différents, liés à la structure (locale ou globale) du codomaine d'une fonction ou d'une mesure. Pour une fonction continue à valeurs réelles f, définie sur un intervalle [a, b] ⊂ ℝ, sa variation totale sur l'intervalle de définition est une mesure de la longueur d'arc de la courbe d'équation x ↦ f(x), pour x ∈ [a, b].

Note historique
L'idée de variation totale pour les fonctions d'une variable réelle a d'abord été introduite par Camille Jordan[1], afin de prouver un théorème de convergence pour les séries de Fourier de fonctions discontinues périodiques à variation bornée. L'extension du concept aux fonctions de plusieurs variables n'est pas aussi simple.
Définitions
Variation totale pour les fonctions d'une variable réelle
La variation totale d'une fonction d'une variable réelle (ou complexe) f, définie sur un intervalle est donnée par :
où le supremum vaut sur l'ensemble des partitions de l'intervalle donné.
Variation totale pour les fonctions de plusieurs variables réelles
Soit Ω un sous-ensemble ouvert de ℝn. Pour une fonction f dans L1(Ω), la variation totale de f sur Ω est définie par :
où est l'ensemble des fonctions à valeurs vectorielles continûment différentiables à support compact contenu dans Ω, et est la norme liée à la borne supérieure essentielle. On remarquera qu'il n'est pas utile ici d'avoir un domaine borné.
Variation totale dans la théorie de la mesure
Définition classique de la variation totale
Considérons une mesure signée μ sur un espace mesurable : il est alors possible de définir deux fonctions d'ensemble et , respectivement variation supérieure et variation inférieure, telles que :
ainsi
La variation (ou encore variation absolue) de la mesure signée μ est la fonction d'ensemble[2]
et sa variation totale correspond à la valeur de cette mesure sur tout l'ensemble de définition, soit :
Définition moderne de la norme de variation totale
Saks utilise les variations supérieure et inférieure pour prouver le théorème de décomposition de Hahn (en) : selon sa version du théorème, ces variations sont des mesures respectivement positive et négative[3]. Avec des notations modernes, on peut écrire
ce qui assure que et sont toutes deux positives, et ainsi :
La dernière mesure est parfois appelée, par abus de langage, mesure de variation totale.
Norme de variation totale de mesures complexes
Si la mesure μ est à valeurs complexes, les variations supérieure et inférieure ne peuvent pas être définies et la décomposition de Hahn-Jordan ne peut être appliquée qu'aux parties réelle et imaginaire. Cependant, il est possible de définir la variation totale d'une mesure complexe[4]:
La variation d'une mesure à valeurs complexes μ est la fonction d'ensemble
où le supremum est pris pour toutes les partitions π d'un espace mesurable E en un nombre fini de sous-ensembles mesurables disjoints.
En revenant à une variable réelle, on retrouve la définition vue précédemment.
Norme de variation totale de mesures pour des valeurs vectorielles
La variation telle qu'elle sera définie ici est positive[5] et coïncide avec celle où μ est une mesure signée : sa variation totale a alors déjà été définie. On peut l'étendre aux fonctions de valeurs vectorielles :
La définition donnée ici étend celle donnée par Rudin[6], dans le sens où elle ne demande que des partitions finies de l'espace X : cela implique qu'elle peut être utilisée pour les variations totales de mesures de somme finie.
Propriétés
Variation totale de fonctions différentiables
La variation totale d'une fonction différentiable peut être donnée par une intégrale dépendant de la fonction plutôt que la borne supérieure de fonctionnelles comme vu auparavant.
Variation totale d'une fonction d'une variable réelle dérivable
La variation totale d'une fonction dérivable f, définie sur un intervalle réel [a , b], peut être exprimée ainsi si sa dérivée f' est Riemann-intégrable
Variation totale d'une fonction de plusieurs variables réelles différentiable
Soit une fonction f définie et différentiable sur un ensemble ouvert borné , la variation totale de f est alors donnée par
où désigne la norme l2.
On dit que f est à variation bornée si sa variation totale est finie.
Variation totale d'une mesure
La variation totale est une norme définie sur l'espace des mesures de variation bornée. Cet espace sur une σ-algèbre d'ensembles est un espace de Banach, appelé l'espace ca, muni de sa norme. Il est contenu dans un espace de Banach plus grand, appelé l'espace ba, constitué de mesures de somme finie (en opposition à somme dénombrable), avec la même norme. La fonction distance associée à la norme permet de donner la variation totale de la distance entre deux mesures μ et ν.
Pour des mesures finies sur ℝ, le lien entre la variation totale d'une mesure μ et celle d'une fonction, comme décrit avant, vient comme suit. Avec μ, on pose une fonction telle que
Alors, la variation totale d'une mesure signée μ est égale à la variation totale de φ. En général, la variation totale d'une mesure signée peut être définie grâce au théorème de décomposition de Jordan avec
pour toute mesure signée μ sur l'espace mesurable .
Applications
La variation totale peut être vue comme une fonctionnelle positive d'une variable réelle (pour le cas à une seule variable) ou sur l'espace des fonctions intégrables (pour le cas à plusieurs variables). Comme fonctionnelle, la variation totale trouvent plusieurs applications en mathématiques et ingénierie, comme le contrôle optimal, l'analyse numérique, ou le calcul variationnel, où la solution d'un problème doit être à variation totale minimale. On pourra citer deux types de problèmes courants :
- analyse numérique des équations différentielles : trouver des solutions approchées d'une équation différentielle.
- débruitage d'une image: en traitement de l'image, le débruitage consiste à réduire le bruit électronique d'une image reconstruite à partir des données obtenues de façon électronique, par transmission de données ou captation.
Articles connexes
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Total variation » (voir la liste des auteurs).
- (Jordan 1881), selon (Golubov et Vitushkin 2002).
- (Saks 1937, p. 10)
- (Saks 1937, p. 11)
- (Rudin 1966)
- (Rudin 1966, p. 139)
- (Rudin 1966, p. 138)
- (it) Cesare Arzelà, « Sulle funzioni di due variabili a variazione limitata (On functions of two variables of bounded variation) », Rendiconto delle sessioni della Reale Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna, vol. IX, no 4, , p. 100–107 (lire en ligne[archive du ]).
- (en) Boris I. Golubov, « Arzelà variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov, « Fréchet variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov, « Hardy variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov, « Pierpont variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov, « Vitali variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov, « Tonelli plane variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Boris I. Golubov et Anatolii G. Vitushkin, « Variation of a function », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
- Camille Jordan, « Sur la série de Fourier », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 92, , p. 228–230 (lire en ligne)
- (de) Hans Hahn, Theorie der reellen Funktionen, Berlin, Springer Verlag, , VII+600 p. (lire en ligne[archive du ]).
- (it) Giuseppe Vitali, « Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (On groups of points and functions of real variables) », Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino, vol. 43, , p. 75–92 (lire en ligne[archive du ]).
- C. Raymond Adams et James A. Clarkson, « On definitions of bounded variation for functions of two variables », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 35, , p. 824–854 (DOI 10.1090/S0002-9947-1933-1501718-2, Math Reviews 1501718, zbMATH 0008.00602, lire en ligne).
- (it) Lamberto Cesari, « Sulle funzioni a variazione limitata (On the functions of bounded variation) », Annali della Scuola Normale Superiore, série II, vol. 5, nos 3-4, , p. 299–313 (Math Reviews 1556778, zbMATH 0014.29605, lire en ligne).
- Stanislaw Saks, « Theory of the Integral », Monographies mathématique, Warszawa-Lwów, 2nd, série Monografie Matematyczne, vol. 7, , p. VI+347 (Math Reviews 1556778, zbMATH 0017.30004, lire en ligne) .
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, New York, McGraw-Hill, , 1re éd., xi+412 p. (Math Reviews 210528, zbMATH 0142.01701).
Liens externes
- (en) Function of bounded variation sur Encyclopedia of Mathematics
- (en) Eric W. Weisstein, « Total Variation », sur MathWorld.
- (en) Eric W. Weisstein, « Jordan decomposition », sur MathWorld.
- Jordan decomposition sur Encyclopedia of Mathematics
Applications
- Vincent Caselles, Antonin Chambolle et Matteo Novaga, « The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions », Multiscale Modeling and Simulation, SIAM, vol. 6, no 3, (lire en ligne) (application de la variation totale en débruitage pour le traitement de l'image).
- Leonid I. Rudin, Stanley Osher et Emad Fatemi, « Nonlinear total variation based noise removal algorithms », Physica D: Nonlinear Phenomena, no 60.1, , p. 259-268 (lire en ligne).
- Peter Blomgren et Tony F. Chan, « Color TV: total variation methods for restoration of vector-valued images », Image Processing, IEEE Transactions, vol. 7, no 3, , p. 304-309 (lire en ligne).
- Tony F. Chan et Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, (ISBN 0-89871-589-X) (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).
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