Vecteur de Poynting

Soient ${\displaystyle {\vec {E}}}$ et ${\displaystyle {\vec {B}}}$ le champ électrique et le champ magnétique. La conservation de l'énergie électromagnétique à travers une surface s'exprime, dans sa forme locale (souvent appelée théorème de Poynting), comme une équation de conservation :

${\displaystyle {\frac {\partial e(t)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\Pi }}(t)=s(t)}$

avec ${\displaystyle t}$ le temps, ${\displaystyle e}$ la densité volumique d'énergie du champ électromagnétique, ${\displaystyle {\vec {\Pi }}}$ le flux d'énergie surfacique sortant, et ${\displaystyle s}$ le terme source : la densité volumique d'énergie gagnée ${\displaystyle s>0}$ ou perdue.

À partir des équations de Maxwell dans le vide, on tire l'expression du vecteur de Poynting dans le vide :

${\displaystyle {\vec {\Pi }}(t)={\frac {{\vec {E}}(t)\wedge {\vec {B}}(t)}{\mu _{0}}}}$

où μ₀ est la perméabilité du vide.

Dans un matériau linéaire, de perméabilité magnétique μ et dans lequel on peut négliger la dispersion et les pertes, il convient de prendre en compte l'excitation magnétique ${\displaystyle {\vec {H}}(t)}$ définie par la relation ${\displaystyle {\vec {B}}(t)=\mu \,{\vec {H}}(t)}$. On obtient alors une expression plus générale du vecteur de Poynting[2] :

${\displaystyle {\vec {\Pi }}(t)={\vec {E}}(t)\wedge {\vec {H}}(t)}$.

Dans un milieu linéaire dispersif avec pertes, on conserve l'expression du vecteur de Poynting ${\displaystyle {\vec {\Pi }}={\vec {E}}\wedge {\vec {H}}}$, mais le théorème de Poynting ne s'exprime plus avec ${\displaystyle e}$ et comporte des termes supplémentaires de dissipation[3].

Un circuit de courant continu constitué d'une batterie (V) et d'une résistance (R) indiquant la direction du vecteur de Poynting (S, bleu) dans l'espace qui l'entoure, ainsi que les champs desquels il est dérivé : le champ électrique (E, rouge) et le champ magnétique (H, vert). Dans la région autour de la batterie le vecteur Poynting est dirigé vers l'extérieur, ce qui indique la puissance sortant de la batterie dans les champs; dans la région autour de la résistance le vecteur est dirigé vers l'intérieur, ce qui indique la puissance de champ circulant dans la résistance. À travers n'importe quel plan P, entre la batterie et la résistance, le flux de Poynting est dans le sens de la résistance.

Dans le cas d'une onde électromagnétique plane progressive harmonique, on a

${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {E}}_{0}\cos {(\omega t-\varphi )}}$

et

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {B}}_{0}\cos {(\omega t-\psi )}}$

On peut donc associer des grandeurs complexes aux champs ${\displaystyle {\vec {E}}}$ et ${\displaystyle {\vec {B}}}$ en posant (avec ${\displaystyle i}$ le nombre complexe tel que ${\displaystyle i^{2}=-1}$) :

${\displaystyle {\underline {\vec {E}}}={\underline {\vec {E}}}_{0}\,\mathrm {e} ^{i\omega t}={\vec {E}}_{0}\,\mathrm {e} ^{-i\varphi }\,\mathrm {e} ^{i\omega t}}$

et

${\displaystyle {\underline {\vec {B}}}={\underline {\vec {B}}}_{0}\mathrm {e} ^{i\omega t}={\vec {B}}_{0}\,\mathrm {e} ^{-i\psi }\,\mathrm {e} ^{i\omega t}}$.

La moyenne temporelle du vecteur de Poynting vaut alors :

${\displaystyle \langle {\vec {\Pi }}\rangle ={\frac {1}{2\,\mu _{0}}}\;{\text{Re}}\left({\underline {\vec {E}}}\wedge {\underline {\vec {B}}}^{\star }\right)}$

où ${\displaystyle {\underline {\vec {B}}}^{\star }}$ désigne le conjugué de ${\displaystyle {\underline {\vec {B}}}}$

La moyenne temporelle du flux de Poynting est reliée à la luminance ${\displaystyle L(\Omega )}$ d'un faisceau se propageant dans la direction ${\displaystyle \Omega _{0}={\frac {\vec {\Pi }}{||{\vec {\Pi }}||}}}$. Cette luminance est donnée par :

${\displaystyle L(\Omega )=\langle {\vec {\Pi }}\rangle \delta (\Omega -\Omega _{0})}$

où ${\displaystyle \delta }$ est la fonction de Dirac.

On vérifie que le premier moment de ${\displaystyle L(\Omega )}$ qui représente la densité de flux ${\displaystyle {\vec {f}}}$ retrouve le flux de Poynting :

${\displaystyle {\vec {f}}=\int _{S^{2}}\Omega L(\Omega )\mathrm {d} \Omega =\langle {\vec {\Pi }}\rangle }$

Une conséquence du théorème de Poynting est que la puissance électromagnétique traversant une surface S est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface.

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{S}=\iint _{S}{\vec {\Pi }}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}}$

Soit ${\displaystyle U_{em}}$ l'énergie du champ électromagnétique :

${\displaystyle U_{em}=\iiint _{V}W_{em}\mathrm {d} \tau }$ avec W densité volumique d'énergie (quantité d'énergie par unité de volume)

On définit la quantité d'énergie quittant un volume ${\displaystyle V}$ pendant un temps ${\displaystyle \mathrm {d} t}$  :

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} U_{em}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iiint _{V}W_{em}\mathrm {d} \tau =-\iiint _{V}{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\mathrm {d} \tau }$

Soit ${\displaystyle {\vec {P}}}$, vecteur flux d'énergie du champ. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky (Théorème de flux-divergence), on peut dire que le flux sortant du volume V est :

${\displaystyle \iint _{\Sigma }{\vec {P}}\cdot {\vec {n}}\ \mathrm {d} \sigma }$ avec ${\displaystyle {\vec {n}}}$ un vecteur unitaire normal à la surface ${\displaystyle \Sigma }$ du volume V, orienté de l'intérieur vers l'extérieur.

On peut expliciter la perte d'énergie du volume de la manière suivante :

• pertes dues aux « frottements » des charges mobiles (voir loi Ohm locale, effet Joule) ;
• pertes dues au rayonnement électromagnétique sortant du volume.

On peut donc dire que :

${\displaystyle -\iiint _{V}{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}\mathrm {d} \tau =\iiint _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}\mathrm {d} \tau }$+ travail fourni par le champ à la matière

Calculons ce travail :

${\displaystyle {\vec {F}}_{\rm {{\acute {e}}lectrique}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\wedge {\vec {B}})}$.

Pour une particule :

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {W}}={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=q{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$ (on observe facilement que la force magnétique ne travaille pas).

Passons à la puissance fournie par le champ. La puissance reçue par une particule est :

${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=q\,{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}}$

La densité particulaire est notée ${\displaystyle N}$, en conséquence :

${\displaystyle {\frac {\partial W_{Electrique}}{\partial t}}=Nq{\vec {E}}\cdot {\vec {v}}}$ or ${\displaystyle Nq{\vec {v}}={\vec {j}}}$

donc ${\displaystyle {\frac {\partial W_{Electrique}}{\partial t}}={\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}$

Cette perte de puissance est égale à la perte d'énergie du champ par unité de temps et de volume donc on écrit finalement :

${\displaystyle -\iiint _{V}{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}d\tau =\iiint _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}\mathrm {d} \tau +\iiint _{V}{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}\mathrm {d} \tau }$

Donc finalement on a :

${\displaystyle -{\frac {\partial W_{em}}{\partial t}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}+{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}}$ équation de l'énergie du champ électromagnétique

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