Vecteur isotrope

En mathématiques, un vecteur isotrope pour une forme bilinéaire[1] f, est un vecteur x tel que f(x, x) = 0.

Définitions

Soient E un espace vectoriel et f une forme bilinéaire symétrique sur E.

On dit qu'un vecteur x de E est isotrope (pour f[2],[3], ou pour la forme quadratique associée[4]) si f(x, x) = 0.

L'ensemble des vecteurs isotropes est appelé le cône isotrope. Il contient le noyau de f[4].

La forme bilinéaire est dite définie[2] — et la forme quadratique est dite anisotrope[5] — si 0 est son seul vecteur isotrope.

Propriétés

  • Lorsque E est un espace vectoriel réel, si f (symétrique) est définie alors f ou –f est définie positive, c'est-à-dire que c'est un produit scalaire.En effet, si ni –f ni f n'est positive, il existe deux vecteurs x et y tels que f(x, x) = 1 et f(y, y) = –1, on peut poser z = ax + y et l'on constate que est un polynôme du second degré de discriminant ; il existe donc un réel tel que . D'autre part, z est non nul car x et y sont linéairement indépendants. Donc f n'est pas définie.
  • Lorsque E est un espace vectoriel complexe de dimension supérieure ou égale à 2, f n'est jamais définie.Le raisonnement ci-dessus ne nécessite que de mineures adaptations.

Notes et références

  1. Plus précisément : bilinéaire symétrique ou antisymétrique. Guy Auliac, Jean Delcourt et Rémi Goblot, Algèbre et géométrie (Objectif Licence, 3e année), Ediscience, (lire en ligne), p. 153.
  2. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Dunod, coll. « Sciences Sup », (lire en ligne), p. 115.
  3. Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie : préparation au Capes et à l'agrégation, Publibook, (lire en ligne), p. 115.
  4. Auliac, Delcourt et Goblot 2005, p. 155.
  5. Jacek Bochnak, Michel Coste et Marie-Francoise Roy (en), Géométrie algébrique réelle, Springer, (lire en ligne), p. 99.
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