Zéro d'une fonction holomorphe

En analyse complexe, on appelle zéro d'une fonction holomorphe un nombre complexe tel que .

Ordre de multiplicité d'un zéro isolé

Dans toute cette section, désigne un ouvert de ℂ, une fonction holomorphe et (élément de ) un zéro de .

Il existe un disque ouvert inclus dans se développe en série entière (de rayon de convergence au moins égal à ) :

(le terme constant est et les autres coefficients sont ).

Définition   est un zéro isolé de si c'est un point isolé de l'ensemble des zéros de , c'est-à-dire si, dans un disque de centre et de rayon suffisamment petit, est le seul point où s'annule.

Deux cas (seulement) sont possibles :

  • Si pour tout entier , , alors
 : est identiquement nulle sur ; est donc dans ce cas un zéro non isolé ;
  • Dans le cas contraire, soit l'indice du premier coefficient non nul de la série entière ( et ) : on peut écrire
est définie par :
Cette fonction est analytique et est non nul.
Par continuité de en , il existe un réel strictement positif tel que ne s'annule pas sur .
Finalement, pour tout élément de  :
On en déduit que est le seul point de s'annule ; est donc dans ce cas un zéro isolé.

On peut résumer ceci par la définition et le théorème suivants.

Définition

L'ordre de multiplicité (ou la multiplicité) d'un zéro isolé de est l'unique entier tel que :

  • pour tout entier naturel ,
et

Lorsque , on dit que est un zéro simple.

Théorème

  • est un zéro isolé d'ordre de (si et) seulement s'il existe une fonction holomorphe , définie sur un disque ouvert inclus dans , telle que :
    • et
  • Principe des zéros isolés : si est un zéro non isolé de , alors il existe un disque ouvert inclus dans sur lequel est nulle.

Remarque

On définit en algèbre la notion analogue d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul, dont celle qui vient d'être définie constitue une généralisation.

Exemple

Soient un nombre complexe et

Cette fonction est entière (c'est-à-dire holomorphe sur ℂ) et en est un zéro isolé d'ordre 2.

On vérifie en effet que

Application

Du principe des zéros isolés on déduit le principe suivant, dont une démonstration est proposée dans l'article Prolongement analytique.

Principe du prolongement analytique

Soient un ouvert connexe de ℂ et deux fonctions définies et holomorphes sur .

Si l'ensemble possède au moins un point non isolé, alors .

Ou encore :

s'il existe un élément de et une suite d'éléments de distincts de , convergeant vers , tels que pour tout entier , , alors

.

Exemple

Soit un ouvert connexe de ℂ contenant un intervalle de ℝ non réduit à un point : les points de sont non isolés.

Si les fonctions sont holomorphes sur et coïncident sur , alors elles coïncident sur .

Cela signifie qu'une fonction de dans ℂ admet au plus un prolongement analytique à un ouvert connexe de ℂ contenant .

  • Ainsi, la fonction exponentielle complexe est le seul prolongement analytique à ℂ de la fonction exponentielle réelle.
  • On suppose connue l'identité pour tout couple de réels. On peut l'étendre par prolongement analytique à un couple quelconque de nombres complexes. En effet :
    • Soit un réel quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes en posant et . Ces deux fonctions coïncident sur ℝ, donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe , , et cela pour tout réel ;
    • Soit un complexe quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes en posant et . Ces deux fonctions coïncident sur ℝ (d'après le point précédent), donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe , , et cela pour tout complexe z.

Nombre de zéros

Le principe de l'argument permet de donner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe, comptés avec multiplicité, inclus dans un disque.

Si F est holomorphe sur un voisinage d'un disque fermé D tel que F ne s'annule pas sur le bord du disque, la formule suivante donne le nombre de zéros de F, comptés avec multiplicité, dans le disque D :

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