Équation aux dimensions

Une équation aux dimensions est, en physique ou en mathématiques, une manière de savoir la grandeur physique (ou dimension) et donc l'unité de mesure du résultat d'un calcul.

Lorsqu'il y a un problème de physique un peu compliqué, la technique de l'équation aux dimensions permet de répondre à la question « quelle grandeur physique suis-je en train d'évaluer ? ». On appelle aussi cela l'analyse dimensionnelle.

Principes

Les nombres en physique ont tous une unité : ce sont des masses, des vitesses, des temps...

Dans une équation en physique, deux membres de l'équation (c'est-à-dire des nombres ou des lettres qui les représentent) ne peuvent être comparés directement que s'ils sont de la même grandeur physique : comme écrire une égalité entre A et B. On dit alors qu'ils sont homogènes et ils s'écrivent donc dans la même unité.

Par contre on a besoin de multiplier ou diviser différentes grandeurs physiques, et plusieurs d'entre elles sont définies à partir de multiplication ou division des autres. grandeurs. Les grandeurs physiques ont donc des relations qui sont fixées par définition.

Grandeur physiques ou dimensions

Par convention, on note les unités entre crochets, avec par exemple, le temps [T], la masse [M]. Mais seules 7 grandeurs physiques ont une lettre qui les symbolise. Ce sont :

Les autres grandeurs sont définies en combinant les premières : par exemple : La vitesse est un rapport d'une distance par un temps :

[V]=[L].[T]-1.

la superficie est une longueur au carré :

[L]2,

le volume est une longueur au cube :

[L]3,

Une masse volumique est un rapport d'une masse par un volume :

[ρ]=[M].[L]-3.

Une énergie est une masse multipliée par une aire divisée par une durée au carré :

[E]=[M].[L]2.[T]-2.

Calculs

À partir d'une équation entre différentes grandeurs qui sont multipliées ou divisés entre elles une ou plusieurs fois, une équation aux dimensions consiste à se servir des définition des grandeurs physiques pour ensuite simplifier (réduire) une équation et trouver l'unité du résultat.

Puis on applique les règles des puissances pour simplifier une équation.

Après la simplification, on cherche à quelle définition de dimension le résultat correspond. Si, par exemple, un résultat s'exprime dans les mêmes unités qu'une vitesse, c'est peut-être une vitesse...

Comme prédire une relation ?

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Un homme lance une balle. On dispose de :

On souhaite connaître le temps t au bout duquel la balle atterrit. On écrit :

1=[t]a.[m]b.[h]c.[v]d=[M]b. [L]c+d.[T]a-d.

Ce qui donne :

b=0 ;
et a=d=-c.

Donc :

[t]=[h].[v]-1.

Par conséquent, le temps de chute est proportionnel à la hauteur que divise la vitesse. En particulier, le temps de chute de la balle ne dépend pas de sa masse.

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