Division par 2

Multiplier un entier par 2, c'est l'ajouter à lui-même. La division par 2 est l'opération inverse. Par exemple, 13 + 13 = 26 ; par conséquent, on dit que « 26 divisé par 2 vaut 13 ». On le note : 26 : 2 = 13. On dit aussi que 13 est la moitié de 26.

Voici d'autres exemples :

0  +  0  =  0  ==> 0  : 2 = 0.
1  +  1  =  2  ==> 2  : 2 = 1.
35  +  35  =  70  ==> 70  : 2 = 35.
96  +  96  =  192  ==> 192  : 2 = 96.
164  +  164  =  328  ==> 328  : 2 = 164.
793  +  793  =  1 586  ==> 1 586  : 2 = 793.
23 846  +  23 846  =  47 692  ==> 47 692  : 2 = 23 846.

Nombres pair et impair

1 ne peut pas être divisé par 2. Sinon, il existerait un entier naturel, qui ajouté à lui-même donnerait 1. Cet entier serait forcément inférieur ou égal à 1 ; il serait donc égal à 0 ou 1. Mais 0 + 0 = 0 < 1 < 2 = 1 + 1. Donc il n'existe aucun entier qui ajouté à lui-même donne 1.

Un nombre pair est un entier qui peut être divisé par 2.
Un nombre impair est un entier qui n'est pas pair.

0 ; 2 ; 70 ; 192 ; 328 ; 1 586 ; 47 692 sont des exemples de nombres pairs. Plus généralement :

Les nombres pairs sont exactement les entiers dont le chiffre des unité 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
Pour en savoir plus, lire l’article : Parité d'un nombre entier.

Division euclidienne

Tout nombre impair est la somme d'un nombre pair et de 1. Tout nombre pair peut être divisé par 2, c'est-à-dire peut s'écrire comme le produit de 2 et d'un entier. Par conséquent, on peut toujours écrire un entier sous la forme :

2 x Le "quotient" +
0 si pair ;
1 si impair.

C'est ce qu'on appelle la division euclidienne par 2. On peut continuer, et caculer la division euclidienne du quotient. Par exemple :

83 = 2 × 41 + 1
41 = 2 × 20 + 1 ==> 83 = 20 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1
20 = 2 × 10 + 0 ==> 83 = 10 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1
10 = 2 × 5 + 0 ==> 83 = 5 × 16 + 0 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1
5 = 2 × 2 + 1 ==> 83 = 2 × 32 + 1 × 16 + 0 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1
2 = 2 × 1 + 0 ==> 83 = 1 × 64 + 0 × 32 + 1 × 16 + 0 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1

Par cette méthode, on décompose tout entier comme une somme de puissances de 2. Tout entier peut s'écrire comme une somme de puissances de 2, et cette somme est unique. Pour simplifier l'écriture, on ne mentionne qu'une séquence de 0 et de 1 :

83 = 10 100 111.
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