Factorisation d'un nombre entier

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Un nombre entier est premier s'il n'existe aucun entier naturel le divisant autre que 1 et lui-même. La factorisation d'un entier naturel est son écriture comme un produit de nombres permiers. Cette écriture existe toujours : c'est le théorème fondamental de l'arithmétique. Mais ce théorème ne dit pas comment trouver efficacement la factorisation.

Théorème fondamental de l'arithmétique

Tout entier naturel est le produit de nombres premiers. Ce produit est unique à l'ordre près des facteurs.

Algorithmes de factorisation


Utilisations en cryptographie

En cryptographie à clef publique, elles représentent deux nombres premiers distincts qui permettent de créer le modulo en faisant le calcul n = p × q, où n est le modulo. Décoder un message est immédiat si on connaît p et q ; impossible sinon lorsque n est trop grand. Les procédés de codage à clef publique comptent sur le fait que retrouver p et q à partir de n, quand n est très grand (vers les 100 chiffres), est impossible pour les ordinateurs actuels.

Les nombres premiers p et q sont choisis distincts. Il existe des méthodes efficaces d'extraction de la racine carrée ; autrement dit qui donnent une approximation de la racine carrée de n.

Question : Comment trouver un entier n à environ 100 chiffres qui se factorise en deux nombres premiers distincts ?

Réponse : En prenant la produit de deux nombres premiers à environ 50 chiffres.

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