Fonction

Une fonction est un objet des mathématiques, au même titre que les nombres, les ensembles ou les vecteurs.

Chaque objet mathématique a sa particularité : par exemple, les ensembles sont comme de gros réservoirs contenant les autres objets ; les vecteurs sont des sortes de mouvements ; et les fonctions ? Ce sont les objets qui transforment d'autres objets.

On se propose de voir les fonctions comme de petites usines : elles transforment de la matière première en produit fini ! Dans ce cas, la « matière première » est les objets contenus dans l'ensemble dit de départ de la fonction (c'est l'ensemble de tous les objets qu'elle peut transformer). Le « produit fini », c'est l'objet de départ transformé par la fonction ; l'ensemble de tous les objets de départ transformés constitue l'ensemble d'arrivée de la fonction.

Définition mathématique

En mathématiques, une fonction est une application qui « part » d'un ensemble d'objets[1] et « va dans » lui-même ou un autre ensemble. Elle associe à chaque objet de l'ensemble d'arrivée[2] un (ou plusieurs) objets de l'ensemble de départ[3]. La notation f(x) symbolise donc clairement l'objet d'origine x « transformé » par f pour former le nouvel objet f(x). La branche des mathématiques qui étudie les fonctions s'appelle l'analyse.

Exemple théorique : qu'est-ce qu'une fonction ?

Notre fonction, F, associe à chacune des six premières lettres de l'alphabet latin un unique caractère grec : par exemple, F(b) = α.

Prenons la fonction F représentée (schématiquement) à droite. Elle associe à chacune des six premières lettres de l'alphabet latin un unique caractère grec : par exemple, F (b) = α. Bien sûr, les caractères latins et grecs ne sont pas de objets mathématiques, et les fonctions travaillent le plus souvent sur des nombres ; mais c'est un exemple pour comprendre.





Exemples pratiques

En pratique

On définit par exemple . Pour calculer la valeur de , on effectue le calcul en remplaçant la variable par 3:

Ceci est vrai pour n'importe quelle fonction ! C'est aussi la raison pour laquelle est parfois appelé paramètre : le résultat de dépend de la valeur que l'on donne à .

Exemples algébriques

Fonctions remarquables

Injection, surjection, bijection

Injection

Une fonction est dite injective si elle associe à chacune de ses images au plus un antécédent. Visuellement, l'ensemble d'arrivée d'une telle fonction est de « taille » égale ou supérieure à celle de l'ensemble de départ : il se peut que certains éléments n'aient pas d'antécédent par la fonction.

La définition mathématique de l'injectivité est « quels que soient x et y appartenant à l'ensemble de départ E, si f(x) égale f (y) implique que x égale y, alors f est injective ». Cela s'écrit .

Surjection

Une fonction est dite surjective si elle associe à toute image au moins un antécédent. Par exemple, la fonction utilisée dans notre exemple est surjective, parce que chacune de ses images a au moins un antécédent (elles en ont toutes un, sauf γ qui en a deux).

Si E est l'ensemble de départ et F l'ensemble d'arrivée de la fonction f, la définition mathématique de la surjection s'écrit , ce qui se lit simplement « si (et seulement si), pour toute image y, il existe (au moins) un élément x tel que x est l'antécédent de y par f, alors f est surjective ».

Bijection

  • Vikidia possède enfin un article Bijection !

Une fonction est qui à la fois injective et surjective est dite bijective. Dans le cadre d'une fonction bijective, chaque antécédent est donc associé à une unique image, et chaque image n'a qu'un antécédent. Par exemple, les fonctions affines (comme ) sont toutes bijectives[4], parce qu'à partir de n'importe quelle image, on peut retrouver un (et un seul) antécédent.

Remarques

Références

  1. Dans la plupart des fonctions étudiées, ces objets sont des nombres ; mais on peut former des fonctions manipulant des ensembles, ou d'autres objets mathématiques.
  2. On note généralement cet objet f(x).
  3. Alors noté x. Mais la lettre n'a pas d'importance particulière, il faut la voir comme un nom : on peut créer une fonction g qui transforme t en g (t).
  4. Hormis, bien sûr, les fonctions constantes, qui ne sont ni injectives, ni surjectives (puisqu'elles associent une seule image à tous leurs antécédents).
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