Fonction exponentielle

Chaque cellule se sépare régulièrement en deux cellules identiques : leur nombre augmente de façon exponentielle.
Graphe de la fonction exponentielle

En mathématiques, parmi toutes les fonctions, il en existe une importante : la fonction exponentielle. Elle représente souvent quelque chose qui augmente de plus en plus vite. Sur un graphe, elle a une courbe reconnaissable, très plate à gauche puis grimpant en pente vertigineuse à droite.

Utilisations courantes

Dans la nature, en informatique ou dans la société, on dit de nombreux phénomènes qu'ils suivent « une loi exponentielle ». Cela signifie que leur évolution dans le temps ressemble à une fonction exponentielle : ces phénomènes augmentent de plus en plus vite, comme une multiplication à chaque instant. Ce n'est pas comme une augmentation régulière (« linéaire ») ou on ajoute le même nombre à chaque instant.

On parle de loi exponentielle pour :

Tous ces phénomènes sont caractérisés comme étant un peu « lents » à démarrer, pour ensuite connaître une évolution dans le temps de plus en plus rapide et importante.

Exemple

Si quelqu'un a deux chevaux au départ et qu'il en veut un de plus chaque année, il en aura 2 puis 3 puis 4 puis 5... et 10 au bout de 8 ans, 22 au bout de 20 ans. L'augmentation du nombre de ses chevaux dans le temps est alors une fonction affine : il suffit d'ajouter 2 au nombre d'années pour avoir le nombre de chevaux.

Cependant, les chevaux se reproduisent. Disons que chaque couple de chevaux a deux petits tous les 4 ans, et que les chevaux ne meurent jamais. À partir de deux chevaux, sans en acheter ni en vendre, leur nombre est multiplié par 2 tous les 4 ans : il en aura :

Dans ce cas, c'est une fonction exponentielle. Elle peut augmenter moins vite qu'une fonction affine au début, mais bientôt elle augmente beaucoup plus vite.

Propriétés mathématiques

La fonction exponentielle s'écrit le plus souvent exp ou et possède certaines particularités :

Typiquement, on peut définir la fonction exponentielle de deux manières :

  1. soit comme la seule fonction qui, à la fois :
    • est sa propre dérivée ;
    • vérifie l'égalité e0 = 1 (on dit que c'est la seule solution de la plus simple équation différentielle : g’ = g avec la condition g(0) = 1)
  2. soit, indirectement, en disant que c'est la réciproque de la fonction logarithme népérien ; cela revient à définir l'exponentielle comme la fonction dont la courbe est le symétrique de celle de la fonction logarithme par rapport à la première bissectrice.
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