Fonction réciproque

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En analyse, la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f-1 qui, à partir du résultat obtenu en appliquant f sur un nombre, redonne ce nombre.

Par exemple, si f est la fonction numérique qui, à un nombre quelconque, ajoute 1, la fonction réciproque de f est la fonction qui, à un nombre donné, retranche 1. Ainsi, en appliquant f à 24, nous obtenons 25 ; et si nous appliquons f-1 au résultat 25, nous retrouvons 24 :

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Pour qu'une fonction f admette une réciproque f-1, il faut que f soit bijective (et, naturellement, f-1 l'est alors aussi).

Exemple

Soit la fonction . On peut donc écrire, pour n'importe quelle valeur de x, l'égalité .

En passant le 3 dans le premier membre, on a :

puis, en ramenant à son tour le 2 dans le premier membre :

La fonction réciproque de f est généralement notée f-1. On a, par définition, et . En mathématiques, pour simplifier l'écriture, on le note : (mais cela veut dire la même chose).

On en déduit que :

,

et donc :

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