Identité remarquable

En mathématiques, une identité remarquable est une égalité vérifiée par tous les nombres et qui permet d'accélérer les calculs. Certaines servent à développer des multiplications, des sommes ou à simplifier des expressions.

Pour les utiliser efficacement, il est nécessaire de les connaître par cœur, ou du moins de les retenir sous forme de règles.

Donnons les plus importantes (sachant que $2ab$ est un raccourci pour $2\times a\times b$ ) :

$(a+b)^{2}\quad =\quad a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a-b)^{2}\quad =\quad a^{2}-2ab+b^{2}$
$(a-b)(a+b)\quad =\quad a^{2}-b^{2}$

Les deux premières identités remarquables, $(a\pm b)^{2}=\ldots$ , sont en fait un cas particulier de la formule du binôme de Newton. On peut appliquer celle-ci pour calculer des variantes comme : $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ .

		Le savais-tu ?
	Démonstration géométrique !
Certaines identités peuvent se démontrer facilement par des constructions géométriques relativement simples. En voici un exemple avec $(a+b)^{2}$ : Soit un carré de côté de longueur $a+b$ . On peut le diviser en un carré de côté de longueur $a$ , en un autre carré de côté de longueur $b$ et en deux rectangles de côtés de longueur $a$ et $b$ . Par conséquent, $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ !

Exemples

Développement

Développer une expression mathématique, c'est la transformer d'un produit (multiplication) en sommes (additions). Par exemple, $a^{2}+2ab+b^{2}$ est la version « développée » de $(a+b)^{2}$ : on a transformé toutes les multiplications qu'on pouvait (ici, juste $(a+b)\times (a+b)$ ). Il y a toujours des multiplications (comme entre 2, $a$ et $b$ ) mais on ne peut pas les développer davantage sans connaître $a$ ou $b$ , et l'opération principale (celle qu'on fait en dernier) est une somme (entre $a^{2}$ , $b^{2}$ et $2ab$ ).

$(x+3)^{2}=?$
On reconnaît $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ donc :

$(x+3)^{2}\quad =\quad x^{2}\ +\ 2\times x\times 3\ +\ 3^{2}\quad =\quad x^{2}+6x+9$

$(7-w)^{2}=?$
On reconnaît $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ donc :

$(7-w)^{2}\quad =\quad 7^{2}\ -\ 2\times 7\times w\ +\ w^{2}\quad =\quad 49-14w+w^{2}$

$(2-x)(2+x)=?$
On reconnaît $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ donc :

$(2-x)(2+x)\quad =\quad 2^{2}-x^{2}\quad =\quad 4-x^{2}$

$(4+y)^{3}=?$
On reconnaît $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ donc :

$(4+y)^{3}\quad =\quad (y+4)^{3}\quad =\quad y^{3}\ +\ 3\times y^{2}\times 4\ +\ 3\times y\times 4^{2}\ +\ 4^{3}\quad =\quad y^{3}+12y^{2}+48y+64$

Factorisation

La factorisation est l'opération inverse du développement : c'est trouver un élément commun dans tous les termes d'une somme (additions) et s'en servir pour transformer cette somme en produit (multiplication). Par exemple, on factorise la somme $a^{2}-b^{2}$ en le produit $(a-b)\times (a+b)$ . Il y a toujours des additions, mais l'opération principale (la dernière à effectuer) est une multiplication.

$n^{2}+6n+9=?$
$n^{2}+6n+9\quad =\quad n^{2}\ +\ 2\times {\mathbf {3}}\times n\ +\ {\mathbf {3}}\times {\mathbf {3}}$

c'est-à-dire $a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=n$ et $b=3$ .

Or $a^{2}+2ab+b^{2}$ est la forme développée de $(a+b)^{2}$ , donc :

$n^{2}+6n+9\quad =\quad (n+{\mathbf {3}})^{2}$

$4x^{2}-4x-3=?$
$4x^{2}-4x-3\quad =\quad ({\mathbf {2x}})^{2}\ -\ 2\times {\mathbf {2x}}\times 1\ -\ 3$

On a envie de reconnaître $(a-b)^{2}$ , avec $a=2x$ et $b=1$ , mais ça ne marche pas : $b^{2}=1^{2}=1\neq -3$ !

Forçons un peu les choses en faisant apparaître un $1$ à partir du $-3$ . C'est facile : $1-4=-3$ donc :

$4x^{2}-4x-3\quad =\quad (2x)^{2}\ -\ 2\times 2x\times {\mathbf {1}}\ +\ {\mathbf {1}}\ -\ 4$

On peut maintenant factoriser notre $a^{2}-2ab+b^{2}$ en $(a-b)^{2}$ :

$4x^{2}-4x-3\quad =\quad (2x-1)^{2}\ -\ 4$

Peut-on faire quelque chose de ce $-4$ restant, ou faut-il le laisser là ? Il serait bien de pouvoir continuer à factoriser. On peut remarquer que $-4=-2^{2}$ et utiliser une autre identité remarquable, $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ :

$(2x-1)^{2}\ -\ {\mathbf {2}}^{2}\quad =\quad (2x-1-{\mathbf {2}})(2x-1+{\mathbf {2}})$

Donc : $4x^{2}-4x-3\quad =\quad (2x-3)(2x+1)$ , ce qui est une forme factorisée.

Bibliographie

(en), Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. II, Diophantine analysis — Les deux identités remarquables, ainsi que leurs usages en arithmétique sont présents dans cette référence, beaucoup plus technique que la précédente.

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