Multiplication

La multiplication est l'une des quatre opérations élémentaires. La multiplication intervient dans le calcul des aires et des volumes.

Une multiplication très simple !
Il y a un quiz sur la multiplication.

Définition (pour les entiers naturels)

4 
7 

On aligne des boîtes de même dimension, côte à côte, selon des lignes et des colonnes. Ci-contre, 28 boîtes ont été alignées selon 4 colonnes et 7 lignes. (On peut les compter : il y en a bien 28 !) On dit alors que la multiplication de 4 par 7 donne 28. Plus généralement :

La multiplication du nombre de colonnes par le nombre de lignes donne le nombre de boîtes.

Ce n'est pas la solution à une question, mais la définition de la multiplication. En mathématiques, on va écrire :

4  ×  7  =  28.

On lit : « quatre fois sept font vingt-huit ».

De même, on peut calculer : 3  ×  9  =  27 ; 5  ×  5  =  25 ;... Rapidement, il peut devenir long de compter le nombre de boîtes : combien vaut 9  ×  9 ? Il peut aussi devenir difficile de dessiner : combien vaut 153  ×  285 ? C'est la raison pour laquelle il devient important de développer des méthodes pour calculer une multiplication. Ces méthodes sont basées sur les propriétés de la multiplication.

Remarque : La multiplication par 0 donne toujours 0, car on ne peut aligner aucune boîte sur 0 colonne !

Propriétés

Commutative

Quand on multiplie deux entiers naturels, on peut changer l'ordre dans lequel on les multiplie. On dit que la multiplication est commutative.

Par exemple, 4  ×  7  =  7  ×  4. On peut le constater sur cet exemple en comptant le nombre de boîtes, sur 4 colonnes et 7 lignes, puis sur 7 colonnes et 4 lignes. Dans les deux cas, on obtient 28. Mais que se passe-t-il si je remplace 4 et 7 par des entiers quelconques ? On a démontré 4  ×  7  =  7   ×  4 en calculant séparément 4  ×  7 et 7   ×  4. Or, on veut justement démontrer de telles égalités, sans effectuer les multiplications !

7 
4 

Par définition, 4  ×  7 est le nombre de boîtes alignées sur 4 colonnes et 7 lignes. On peut faire un dessin, donné au paragraphe précédent. Si on tourne la feuille, on obtient la figure ci-à droite. Les lignes deviennent alors des colonnes et les colonnes des lignes. Par conséquent, 4  ×  7 est aussi le nombre de boîtes alignées sur 7 colonnes et 4 lignes, c'est-à-dire 7  ×  4.

Ce raisonnement reste valable quand on change 4 et 7 par n'importe quels entiers naturels. Changer l'ordre des deux facteurs d'une multiplication revient à tourner la figure.

Distributive

On peut distribuer la multiplication aux termes d'une addition :

Produit du premier entier par la somme des deux autres = Produit du premier entier par le deuxième entier + Produit du premier entier par le troisième entier
5  ×  (  3  +  6  )  = 5  ×  3  + 5  ×  6.

On dit que la multiplication est distributive. Quand on passe de gauche à droite, on dit qu'on développe. Quand on passe de droite à gauche, on dit qu'on factorise par 5.

On dispose de deux empilements :

Ajouter les produits, c'est réunir ces deux empilements en un seul, comme indiqué ci-dessous. On obtient alors un nouvel empilement sur 5 colonnes et 3  +  6 lignes. Il comprend donc 5  ×  (  3  +  6 ) boîtes. La somme de 5  ×  3 et de 5  ×  6 vaut 5  ×  (  3  +  6 ). Le raisonnement reste valable en remplaçant 5, 3, et 6 par n'importe quels entiers naturels.

5 
3 
6 
5 
3
+
6

Associative

La multiplication est associative, au sens où :

Premier entier ×  ( Deuxième entier × Troisième entier )  =  ( Premier entier × Deuxième entier )  × Troisième entier
5 ×  ( 2 × 3 )  =  ( 5 × 2 )  × 3

Aire

L'aire d'un rectangle est le produit des longueurs de ces côtés. Si les longueurs s'expriment dans une unités, l'aire s'exprime dans l'unité au carré, et se calcule en effectuant le produit des mesures des longueurs dans cette unité.

Voir aussi

Multiplication
Multiplication par : Différentes méthodes : Multiplication longue - Multiplication par glissement - Multiplication par jalousie - Algorithme de Karatsuba - Multiplication russe
2 - 3 - 5
9 - 10 - 11- 12

Table de multiplication - Produit - Aire - Lemme des bergers
Voir aussi : Addition  -  Soustraction  -  Division
Portail des mathématiques   Les nombres, la géométrie et les grands mathématiciens.
Article mis en lumière la semaine du 8 juin 2009.
This article is issued from Vikidia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.