Parité d'un nombre entier

Le nombre 2, peut-être le plus connu des nombres pairs
Cet article semble trop confus et / ou trop compliqué.
N’hésitez pas à le simplifier ou à donner votre avis.
Aide sur la syntaxe wiki – Conseils de rédaction

En mathématiques, étudier la parité d'un nombre entier, c'est déterminer si cet entier est, ou non, un multiple de deux :

Les premiers entiers naturels pairs sont 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

186 est un entier pair car le quotient de 186 par 2 est 93 ; mais 153 est impair car le quotient de 153 par 2 vaut 76,5 qui n'est pas un entier.

Comment reconnaître un entier pair d'un entier impair ?

Pour un entier pas trop grand, il suffit d'écrire cet entier en chiffres (dans le système décimal).

Plus généralement, dans une base de numération paire, un entier est pair, si et seulement si, son dernier chiffre est pair. Par exemple, la base 2 (système binaire) est souvent utilisée en informatique. Le nombre 10110 écrit en base 2 est pair car son dernier chiffre est 0. En fait, il s'agit de vingt-deux (pourquoi ?).

Au contraire, dans une base de numération impaire, un entier est pair, si et seulement si, la somme de ses chiffres est pair. Par exemple, la base 5 (système quinquennal) a été longtemps utilisée en Australie avant l'arrivée des Européens. En base 5, le nombre 3421 est pair, car la somme de ses chiffres vaut dix. En fait, il s'agit de quatre cents quatre-vingt six (pourquoi ?).

Bien sûr, pour des très grands nombres, on ne peut pas connaître le chiffre des unités. Par exemple, sur une calculatrice, qu'obtient-on si on tape 2^100=? (on lui demande de calculer la 100e puissance de 2). Le résultat affiché dépend de sa capacité de calculs, et de son mode d'affichage. Sur une Casio, on obtient par exemple 1.2676506E+30. L'affichage est américain, le point remplace la virgule. La notation E+30 signifie « ×10^30 ». Donc, on sait que 2^10 possède 30 chiffres dans le système décimal, et que les premiers chiffres sont 1, 2, 6, 7, 0, 6, 5, 0 et après on ne sait plus. Cependant, on sait que les puissances de 2 sont des nombres pairs (voir ci-dessous).

Somme et différence

Il est utile de savoir que la somme de deux entiers pairs est paire :

Plus généralement, une somme ou différence de plusieurs entiers pairs est toujours paire. Une somme ou différence de plusieurs entiers impairs est :

Par exemple, 1 789 645 349 + 12 886 767 453 + 3 545 703 845 est un entier impair (on peut l'affirmer sans calculer la somme !) ; en effet, c'est la somme de trois entiers impairs.

Produit

Le produit de deux entiers impairs est impair :

Plus généralement, un produit de plusieurs entiers est impair, si et seulement si, aucun facteur n'est pair. En particulier, un entier pair ne divise jamais un entier impair.

Attention ! Si le quotient d'un entier pair par un entier pair est un entier, cet entier peut très bien être impair. Par exemple, 12 divise 60 ; les deux entiers sont pairs mais le quotient est 5 qui est impair.

Tout entier naturel pair se décompose de manière unique en produit d'une puissance de deux et d'un entier naturel impair.

36 se décompose en 2 × 13
272 = 16 × 17 = 24 × 17

En particulier, une puissance d'un nombre pair est pair. Une puissance d'un nombre impair est impair.

Le savais-tu ?
Le seul nombre premier qui soit pair est 2.

  • Un entier naturel est premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts à savoir 1 et lui-même. S'il est de plus pair, alors cet entier admet 2 comme diviseur distinct de 1 ; ce diviseur lui est égal. Un entier premier pair est donc nécessairement égal à 2.
  • Réciproquement, 2 est un entier pair ; et il est premier.

Questions ouvertes

Il y a beaucoup de problèmes qui n'ont pas encore été résolus en arithmétique. Certains concernent des problèmes de parité :

Portail des mathématiques   Les nombres, la géométrie et les grands mathématiciens.
This article is issued from Vikidia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.