Plus Grand Commun Diviseur

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En mathématiques, le PGCD est le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres.

Il s'utilise seulement en arithmétique, avec des nombres entiers, jamais avec des nombres décimaux.

Le PGCD sert notamment à simplifier des fractions.

Pour trouver le PGCD de deux petits nombres on peut faire la liste de tous leurs diviseurs. Prenons par exemple 18 et 27 :

On cherche alors le plus grand diviseur commun aux deux, c'est ici 9, donc le PGCD de 18 et 27 est 9. On peut noter .
Note : l'ordre des nombres n'a pas d'importance :

Si , on dit que et sont premiers entre eux.

Algorithme des différences

Calculons avec l'algorithme des différences :

On soustrait le plus petit nombre au plus grand :
On s'intéresse au diminuteur (70) et au reste (98) et on soustrait le plus petit au plus grand :
On s'intéresse au diminuteur (70) et au reste (28) et on soustrait le plus petit au plus grand :
On s'intéresse au diminuteur (28) et au reste (42) et on soustrait le plus petit au plus grand :
On s'intéresse au diminuteur (28) et au reste (14) et on soustrait le plus petit au plus grand :
On s'intéresse au diminuteur (14) et au reste (14) et on soustrait le plus petit au plus grand :
On finit par avoir un résultat nul. Le PGCD est le dernier reste non nul, deux lignes au dessus : .

Algorithme d'Euclide

Calculons avec l'algorithme d'Euclide:
On divise le plus grand nombre par le plus petit :
On divise le diviseur par le reste :
On divise le diviseur par le reste : .
Le PGCD correspond au dernier reste non nul qui est .

Simplifier une fraction

Voir l'article fractions.

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